Фогельс Тоннец - Vogels Tonnetz - Wikipedia

Тоннец Фогеля представляет собой графическое и математическое представление диапазона шкалы просто интонация, представленный немецким теоретиком музыки Мартин Фогель 1976 г. в своей книге Die Lehre von den Tonbeziehungen (Английский язык: Об отношениях тона, 1993). Графическое представление основано на Тоннец Эйлера, добавив третье измерение всего за седьмые к двум измерениям всего за пятые и просто трети. Он служит для иллюстрации и анализа аккордов и их отношений. Четырехмерное математическое представление, включая октавы, позволяет оценивать согласованность гармоник аккордов в зависимости от тонального материала. Таким образом, он также может служить для определения оптимального тонального материала для определенного аккорда.

Графическое представление

Графическое представление Тоннеца Фогеля ограничено тремя измерениями: квинты, трети и седьмые. В этом представлении тона, разделенные одной или несколькими октавами, изображены на одних и тех же узлах. На иллюстрации показан аккорд, который является наиболее частым 4-нотным аккордом в западной музыке: доминирующий септаккорд. В «Тоннеце» Эйлера си-бемоль построена из квинта и трети. В «Тоннеце» Фогеля она дана как гармоническая седьмая.

Седьмой аккорд
Изображение в Тоннеце Эйлера
Представление в "Тоннеце" Фогеля

Представление этого аккорда в трехмерном Тоннеце Фогеля делает его статистическое превосходство гораздо более правдоподобным, чем его представление в двумерном Тоннеце Эйлера: здесь есть отдельная справочная заметка (С), и все другие заметки связаны с этой справочной записью посредством простой одношаговые интервалы в этом Тоннеце.

Математическое представление

Математическое представление Тоннеца Фогеля четырехмерно, учитывая также октавы.Каждый тон представлен четырехместный чисел, указывающих, сколько октав, «квинтов», «третей» и «седьмых» необходимо для достижения этого тона в тоннеце (где термины «квинты», «трети» и «седьмая» обозначают простые числа 3, 5 и 7 вместо интервалов 3/2, 5/4 и 7/4). Септаккорд до мажор с нотами c ', e', g 'и си-бемоль' мог (со ссылкой на C) будет представлен числами 4, 5, 6 и 7. Это соответствует четверке (2,0,0,0), (0,0,1,0), (1,1,0,0) , и (0,0,0,1). Четверные обозначения представляют собой разложение на простые числа чисел, необходимых для описания аккорда, ограничивается первыми четырьмя простыми числами.

Фогель принимает гармонический дуализм Артур фон Эттинген, с основной и незначительный аккорды являются зеркальным отображением друг друга. Это представление дополняется количественным расчетом созвучие (или скорее диссонанс ) значения.

Аккорды до мажор и до минор с верхним и нижним эталонным тоном

С этой целью Фогель вводит виртуальные эталонные тона, которые не обязательно являются частью аккорда. Эти эталонные тона выбираются так, чтобы все тоны аккордов имели целочисленные отношения к этим эталонным тонам. Для каждого аккорда существует нижний и верхний эталонный тон, причем все тоны аккорда являются целыми числами, кратными частоте нижнего эталонного тона, и целыми долями частоты верхнего эталонного тона. В четверной записи есть только положительные (или нулевые) значения, если аккорд связан с нижним эталонным тоном, и только отрицательные (или нулевые) значения, если аккорд связан с более высоким эталонным тоном.

Чтобы получить одно числовое значение, описывающее сложность аккорда, Фогель строит взвешенную сумму четверок, описывающих ноты аккорда. Он предлагает веса 1, 3, 5 и 7 для простых чисел 2, 3, 5 и 7. Фогель отвергает более очевидный вариант, когда простое число 2 взвешивается с 2, потому что это приводит к результатам, которые, по его мнению, не соответствовать восприятию музыкально квалифицированных слушателей. Наконец, взвешенная сумма делится на количество тонов аккорда. Это вычисление выполняется как для верхнего, так и для нижнего эталонного тона. В зависимости от того, какое из этих двух значений меньше, аккорд обозначается как «Oberklang» или «Unterklang» («верхний аккорд», если ссылка на нижнюю справочную ноту, или «нижний аккорд», если ссылается на верхнюю справочную ноту. ).

К мажорному аккорду c’-e’-g ’можно отнести ссылку на C. Все три ноты триады могут быть представлены как целые числа, кратные частоте этого эталонного тона (4, 5 и 6). Разложение на простые числа дает 2 · 2,5,2 · 3. Применяя веса, предложенные Фогелем, можно получить так называемое значение консонанса (1 + 1 + 5 + 1 + 3) / 3 = 11/3 = 3,67. Этот же аккорд также может быть обозначен как b ’’ ’’: этот верхний эталонный тон имеет частоту в 15 раз больше, чем c ’, в 12 раз больше, чем у e’, и в десять раз больше, чем частота g ’. Разложение на простые числа дает 3 · 5,2 · 2 · 3,2 · 5. Значение консонанса вычисляется как (3 + 5 + 1 + 1 + 3 + 1 + 5) / 3 = 19/3 = 6,33. Поскольку значение консонанса для нижнего эталонного тона лучше (меньше), основной аккорд c'-e'-g 'определяется как верхний аккорд, связанный с C. Значение консонанса до минорного аккорда c'-es '-g' идентичен. Однако это ссылка на верхний эталонный тон этого аккорда, g '' '. Как следствие, Vogel отклоняет название этого аккорда как до минор, поскольку его эталонная нота - не C, а G. Он называет это «G нижний аккорд».

Фогель предлагает особую нотацию для верхних и нижних аккордов. Нотация начинается с обозначения эталонного тона в нижнем регистре. Верхние аккорды отмечены буквой «О» (оберкланг) и обозначаются слева направо, нижние аккорды отмечены знаком « U "(Unterklang) и обозначаются справа налево. Мажорный аккорд C обозначается как cO, минорный аккорд C обозначается как Ug. Дополнительные символы для дополнительных нот (7 для добавления верхней или нижней септакты) добавляются к влево или вправо, в зависимости от того, верхний это аккорд или нижний. C⁷ хорда, изображенная выше, будет обозначена как cO7.

В дополнение к вычислению значений консонанса для отдельных аккордов, Vogel предлагает вычисление консонанса переходов аккордов. При переходе от аккорда из n нот к аккорду из m все N · M переходы между нотами оцениваются с помощью простое разложение и взвешенная сумма, а также вычисляется среднее значение для всех этих переходов. Фогель также предлагает вычислить значение созвучия для всего музыкального произведения, принимая во внимание центральную контрольную точку, подобную окончательный.

Созвучие и соответствие гармоник

Значение консонанса, вычисленное по формуле Фогеля, скорее следует называть значением диссонанса, потому что с увеличением диссонанса аккорда или интервала его значение увеличивается. Фогель не утверждал, что предсказывает суждения о консонансе современных слушателей. Во-первых, суждения по созвучию сильно коррелируют с суждениями о знакомстве.^[1]Во-вторых, сегодняшние западные слушатели приписывают мажор и минор эмоциональные ценности (минор воспринимается как выражение печали). В-третьих, его формула учитывает только соответствие гармоник, но не соответствие гармоник. сочетание тонов. Было бы более осторожно сказать, что формула Фогеля коррелирует с конгруэнтностью гармоник, выражая то, насколько гармоники аккорда подходят друг другу или нет.

Диапазон применимости формулы дополнительно ограничен пределами слышимости. Октаву невозможно отличить от октавы, которая неправильно настроена раскол (ошибка около 2 цент ). Предел восприятия для разности частот сложных тонов составляет около 0,25% (4 цента).^[2]Формула консонанса Фогеля дает значение консонанса (1 · 1 + 0 · 3 + 0 · 5 + 0 · 7) / 2 = 0,5 для только октавы (1,0,0,0) и значения (14 · 1 + 8 · 3 + 1 · 5 + 0 · 7) / 2 = 43/2 = 21,5 для октавы, искаженной расколом (-14,8,1,0).

Последствия подбора тонов

Аккорд до минор с высокой и низкой третью

Формула созвучия Фогеля может помочь решить, какие тона тоннеца следует брать для того или иного аккорда. Значение созвучия септаккорда в Тоннеце Эйлера (см. Рисунок выше) составляет 8,5. В «Тоннеце» Фогеля можно было выбрать одни и те же тона, в результате получилось одно и то же значение созвучия. Однако, если кто-то решит выбрать только седьмой, значение консонанса улучшится до 4,5. Следовательно, согласно Фогелю, септаккорд, использующий только септаккорд, должен быть предпочтительнее септаккорда, где септаккорд построен из пятой и третей.

Композиционные последствия

Фогель утверждает, что его формула влечет за собой и композиционные последствия: если кто-то хочет, чтобы аккорд был согласным, мажорные аккорды должны быть составлены таким образом, чтобы трети и седьмые доли устанавливались в верхнем регистре, а второстепенные аккорды должны были быть установлены наоборот. , где трети и септаты устанавливаются в нижнем регистре. Это никоим образом не совместимо с композиционной практикой последних веков (за исключением, возможно, аккорда Тристана, см. ниже). Как следствие, минорные аккорды устанавливаются в соответствии с правилами композиции Фогеля. звучат незнакомо. Однако они демонстрируют лучшую согласованность гармоник, чем их классические варианты. Левая часть двух аккордов до минор на соседнем рисунке составлена классическим способом, а третий установлен в высоком регистре. Значение созвучия для этого аккорда - 4,33. Правый минорный аккорд имеет низкую треть. Звучит незнакомо. Однако его значение консонанса намного ниже (3,0), а согласованность его гармоник намного лучше.

Ограничение теории простыми числами 2, 3, 5 и 7

Фогель считает теоретически бесконечное четырехмерное пространство тонов своего Тоннеца законченным; для более высоких простых чисел никакие другие измерения не требуются. Согласно его теории, созвучие является результатом соответствия гармоники. Простое число 11 и любое другое более высокое простое число не может привести к восприятию конгруэнтности, поскольку внутреннее ухо разделяет только первые восемь-десять частичных.^[2] Одиннадцатая часть может быть слышна и отличима от десятой или двенадцатой части, если изолирована с помощью таких методов, как флажолет. Если они представлены как часть сложного тона, включающего также прилегающие части, эти части будут сливаться вместе, и совпадение с частями другой ноты больше не может быть обнаружено. Было бы интересно проверить, возможно ли обнаружение гармонической конгруэнтности для более высоких простых чисел для инструментов с нечетными частями, так как расстояния между частями в этих инструментах больше. С помощью тренировки можно будет определить созвучие до простого числа 17 или даже 19.

Полусуменьшенный септаккорд в "Тоннеце" Фогеля

Начало прелюдии к опере Рихарда Вагнера «Тристан и Изольда» с аккордом Тристана (желтый) и его разрешением (синим)

Аккорд Тристана (желтый) и его разрешение (синий) в "Тоннеце" Фогеля, анимированные

В Тристан аккорд исторически важный аккорд в Рихард Вагнер опера Тристан и Изольда. Его роль в функциональная гармония не может быть точно определен. Он считается тонально неурегулированным и чрезвычайно хроматичным.^[3]

В «Тоннеце» Фогеля этот аккорд кажется двойным контрафактом мажорного септаккорда. Эта интерпретация подкрепляется наблюдением, что минорный аккорд соль-диез с добавленной нижней септаккой (ми-диез или фа на одну седьмую ниже эталона этого минорного аккорда соль-диез, ре-диез) разрешается в мажорном аккорде ми с добавленным верхним седьмым (см. также соседний анимированный рисунок). Кроме того, способ установки этого аккорда Вагнера совместим с этим видом: третий (B) и седьмой (F или E-диез) устанавливаются в нижнем регистре. В обозначениях Фогеля этот аккорд можно было бы обозначить как 7Ud♯, поскольку опорная нота минорного аккорда соль-диез - ре-диез.

Маловероятно, что нотация Фогеля для минорных аккордов получит признание. Для этого потребуется, чтобы минорный аккорд C был обозначен как Ug, как нижний аккорд под g. Компромиссное обозначение могло состоять в том, чтобы обозначить аккорд Тристана как G♯m / F, то есть как минорный аккорд G-диез с фа в басу.

«Объяснение» аккорда Тристана в «Тоннеце» Фогеля как хорошо составленного контраргумента мажорного септаккорда нельзя сравнивать с «объяснением» в рамках функциональной гармонии. Оба типа объяснений не могут объяснить, почему определенные аккорды и последовательности аккордов утвердились в истории музыки. Функциональная гармония фокусируется на отношении аккорда к преобладающей тональности. Как следствие, он не может объяснить последовательности аккордов, встречающиеся в поздне-романтической музыке, где больше нет непрерывной тональности. Напротив, теория Фогеля больше сосредотачивается на согласованности нот одного аккорда или с нотами предыдущего или последующего аккорда, чем на роли этого аккорда в контексте преобладающей тональности. Анализ Фогеля показывает, что аккорд Тристан ни в коем случае не является атакой на тональную систему как таковую, но что он является ее частью точно так же, как и его двойник, мажорный септаккорд.

Подобный аккорд также часто используется джазовыми музыкантами. Там он обычно обозначается как полусуменьшенный септаккорд. Следовательно, тристанский аккорд можно обозначить как Fm.^{7 b5}Этот способ описания этого аккорда не имеет отношения к минорному аккорду G-диез. Он является результатом практики описания аккордов, начиная с самой нижней ноты. По мнению Фогеля, это подходит для верхних аккордов, но не для нижних. аккорды следует описывать сверху вниз, а не снизу вверх. Следовательно, принцип начала с самой низкой ноты не соблюдается в других ситуациях, например, с перевернутые аккорды.Аккорда до мажор в его первая инверсия обычно не описывается как аккорд ми минор с измененной пятой (Em⁺⁵).

Прием

Тоннец Фогеля опирается на теорию (Тоннец Эйлера), которая более чем на 100 лет старше доминирующей в настоящее время функциональной гармонии. Тоннец Фогеля и функциональная гармония не противоречат друг другу, а наоборот, их можно рассматривать как дополняющие друг друга: В то время как теория Фогеля фокусируется на локальных отношениях тонов и аккордов, функциональная гармония рассматривает глобальную роль аккорда в контексте всего музыкального произведения. Однако преобладание функциональной гармонии и особенности нотации Фогеля препятствуют общему восприятию. Формула созвучия только недавно была проверена эмпирически.^[1] Каернбах предлагает упрощенную нотацию: писать всегда слева направо, используя заглавные буквы для эталонных тонов (избегая путаницы с соглашением об использовании строчных букв для минорных аккордов) и используя треугольные символы (▲ и ▼) для обозначения верхнего и нижнего аккорды. Начало прелюдии к Тристану и Изольде можно было бы обозначить как D♯▼ 7 → E ▲ 7.^[4]

Литература

Мартин Фогель: Der Tristanakkord und die Krise der modernen Harmonielehre. Дюссельдорф 1962 г.
Мартин Фогель: Die Lehre von den Tonbeziehungen. Бонн 1976 г.
Мартин Фогель: О связи тона. Бонн 1993.