Тотент-сумматорная функция - Totient summatory function

В теория чисел, то тотальная сумматорная функция ${ Displaystyle Phi (п)}$ это сумматорная функция из Функция Эйлера определяется:

${ displaystyle Phi (n): = sum _ {k = 1} ^ {n} varphi (k), quad n in mathbf {N}}$

Характеристики

С помощью Инверсия Мёбиуса к тотентифицирующей функции, получаем

${ displaystyle Phi (n) = sum _ {k = 1} ^ {n} k sum _ {d mid k} { frac { mu (d)} {d}} = { frac { 1} {2}} left (1+ sum _ {k = 1} ^ {n} mu (k) left lfloor { frac {n} {k}} right rfloor ^ {2} верно)}$

Φ (п) имеет асимптотическое разложение

${ Displaystyle Phi (n) sim { frac {1} {2 zeta (2)}} n ^ {2} + O left (n log n right),}$

куда ζ (2) это Дзета-функция Римана для значения 2.

Φ (п) - количество взаимно простых целочисленных пар {p, q}, 1 ≤ p ≤ q ≤ n.

Сумматор взаимной тотальной функции

Сумма реципрокной общей функции определяется как

${ displaystyle S (n): = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} { varphi (k)}}}$

Эдмунд Ландау в 1900 г. показал, что эта функция имеет асимптотическое поведение

${ Displaystyle S (п) сим А ( гамма + журнал п) + В + О влево ({ гидроразрыва { лог п} {п}} вправо)}$

куда γ это Константа Эйлера – Маскерони,

${ displaystyle A = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { mu (k) ^ {2}} {k varphi (k)}} = { frac { zeta (2 ) zeta (3)} { zeta (6)}} = prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p (p-1)}} right)}$

и

${ displaystyle B = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { mu (k) ^ {2} log k} {k , varphi (k)}} = A , prod _ {p} left ({ frac { log p} {p ^ {2} -p + 1}} right).}$

Постоянная А = 1.943596... иногда называют Постоянная Ландау. Сумма ${ displaystyle textstyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k varphi (k)}}}$ сходится и равно:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k varphi (k)}} = zeta (2) prod _ {p} left (1 + { гидроразрыв {1} {p ^ {2} (p-1)}} right) = 2,20386 ldots}$

В этом случае произведение простых чисел в правой части является константой, известной как общая сумматорная константа^[1], а его значение:

${ displaystyle prod _ {p} left (1 + { frac {1} {p ^ {2} (p-1)}} right) = 1,339784 ldots}$

Смотрите также

• Арифметическая функция

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Общая суммирующая функция». MathWorld.

внешняя ссылка

• Тотент-сумматорная функция
• Десятичное разложение общего постоянного произведения (1 + 1 / (p ^ 2 * (p-1))), p простое> = 2)

Эта статья по математике заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.