Метрика сисек - Tits metric - Wikipedia

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Сиськи метрика"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июнь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья требует внимания специалиста по математике. Конкретная проблема: просмотреть статью. ВикиПроект по математике может помочь нанять эксперта. (Октябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то Метрика сисек это метрика на идеальной границе Пространство Адамара (также называемый полный CAT (0) пробел ). Он назван в честь Жак Титс.

Идеальная граница пространства Адамара.

Позволять (Икс, d) - пространство Адамара. Два геодезический лучи c₁, c₂ : [0, ∞] → Икс называются асимптотический если во время путешествия они остаются на определенном расстоянии, т.е.

${ displaystyle sup _ {t geq 0} d (c_ {1} (t), c_ {2} (t)) < infty.}$

Эквивалентно Расстояние Хаусдорфа между двумя лучами конечно.

Асимптотическое свойство определяет отношение эквивалентности на множестве геодезических лучей, а множество классов эквивалентности называется идеальной границей ∂Икс из Икс. Класс эквивалентности геодезических лучей называется граничной точкой Икс. Для любого класса эквивалентности лучей и любой точки п в Икс, в классе есть уникальный луч, который исходит из п.

Определение метрики Титса

Сначала мы определяем угол между граничными точками относительно точки п в Икс. Для любых двух граничных точек ${ Displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}}$ в ∂Иксвозьмем два геодезических луча c₁, c₂ исходящий из п соответствующие двум граничным точкам соответственно. Угол двух лучей можно определить как п называется Александрова угол. Интуитивно возьмем треугольник с вершинами п, c₁(т), c₂(т) для небольшого т, и постройте треугольник на плоской плоскости с той же длиной стороны, что и этот треугольник. Рассмотрим угол при вершине плоского треугольника, соответствующий п. Предел этого угла при т стремится к нулю, определяется как угол Александрова двух лучей при п. (По определению пространства CAT (0) угол монотонно убывает как т убывает, значит предел существует.) Теперь определим ${ displaystyle angle _ {p} ( xi _ {1}, xi _ {2})}$ быть этим углом.

Для определения угловой метрики на границе ∂Икс это не зависит от выбора п, мы берем супремум по всем пунктам в Икс

${ displaystyle angle ( xi _ {1}, xi _ {2}): = sup _ {p in X} angle _ {p} ( xi _ {1}, xi _ {2 }).}$

Метрика Сиськи d_Т это метрика длины связанной с угловой метрикой, то есть для любых двух граничных точек расстояние Титса между ними равно инфимум длин всех соединяющих их кривых, измеренных в угловой метрике. Если такой кривой конечной длины нет, расстояние Титса между двумя точками определяется как бесконечность.

Идеальная граница Икс с метрикой Титса называется Граница сисек, обозначаемый ∂_ТИкс.

Для полного пространства CAT (0) можно показать, что его идеальная граница с угловой метрикой является полным пространством CAT (1), а его граница Титса также является полным пространством CAT (1). Таким образом, для любых двух граничных точек ${ Displaystyle xi _ {1}, xi _ {2}}$ такой, что ${ Displaystyle угол ( xi _ {1}, xi _ {2}) < pi}$, у нас есть

${ displaystyle d _ { mathrm {T}} ( xi _ {1}, xi _ {2}) = angle ( xi _ {1}, xi _ {2}),}$

и точки могут быть соединены уникальным геодезическим отрезком на границе. Если пространство правильный, то любые две граничные точки на конечном расстоянии Титса друг от друга можно соединить геодезическим отрезком на границе.

Примеры

• Для Евклидово пространство E^п, его граница Титса - единичная сфера S^{п - 1}.
• Пространство Адамара Икс называется пространство видимости если любые две различные граничные точки являются концами геодезической линии в Икс. Для такого пространства угловое расстояние между любыми двумя граничными точками равно π, поэтому на идеальной границе нет кривой конечной длины, которая соединяет любые две различные граничные точки, а это означает, что расстояние Титса между любыми двумя из них равно бесконечность.

Рекомендации

• Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук] 319. Берлин: Springer-Verlag. С. xxii + 643. ISBN  3-540-64324-9. МИСТЕР  1744486.