Троичная кубическая - Ternary cubic

В математике троичная кубическая форма является однородным многочленом степени 3 от трех переменных.

Теория инвариантов

Тернарная кубика - один из немногих случаев формы степени больше 2 от более чем 2 переменных, чье кольцо инвариантов было явно вычислено в 19 веке.

Кольцо инвариантов

Алгебра инвариантов тернарной кубики относительно SL₃(C) - алгебра полиномов, порожденная двумя инвариантами S и Т степеней 4 и 6, называемых инвариантами Аронхольда. Инварианты довольно сложны, когда записываются в виде многочленов от коэффициентов троичной кубики и явно задаются в (Штурмфельс 1993, 4.4.7, 4.5.3)

Кольцо ковариантов

Кольцо ковариантов имеет следующий вид. (Долгачев 2012, 3.4.3)

Ковариант идентичности U троичной кубики имеет степень 1 и порядок 3.

Гессен ЧАС ковариант троичных кубик степени 3 и порядка 3.

Есть ковариант грамм троичных кубик степени 8 и порядка 6, обращающихся в нуль в точках Икс лежа на лососевом конике полярного Икс относительно кривой и ее кривой Гессе.

Ковариант Бриоски J якобиан U, грамм, и ЧАС степени 12, порядок 9.

Алгебра ковариантов тернарной кубики порождается над кольцом инвариантов формулой U, грамм, ЧАС, и J, с отношением, что квадрат J является многочленом от остальных образующих.

Кольцо контравариантов

(Долгачев 2012, 3.4.3)

Перенос Клебша дискриминанта двоичной кубики является контравариантом F троичных кубик степени 4 и класса 6, давая двойственную кубику кубической кривой.

В Cayleyan п тернарной кубики является контравариантом степени 3 и класса 3.

В странный Q тернарной кубики является контравариантом степени 5 и класса 3.

Контравариант Эрмита Π - еще один контравариант троичных кубик степени 12 и класса 9.

Кольцо контравариантов порождается над кольцом инвариантов формулой F, п, Q, и Π, с соотношением Π² является многочленом от остальных образующих.

Кольцо сопутствующих

Гордан (1869) и Кэли (1881) описал кольцо сопутствующих заболеваний, дав 34 генератора.

Перенос Клебша гессиана двоичной кубики сопутствует степени 2, порядку 2 и классу 2.

Перенос Клебша якобиана тождественного коварианта и гессиана двоичной кубики является сопутствующим элементом троичных кубик степени 3, класса 3 и порядка 3

Смотрите также

• Троичная квартика
• Инварианты бинарной формы

Рекомендации

• Кэли, Артур (1881), "О 34 компонентах троичного кубика", Американский журнал математики, 4 (1): 1–15, Дои:10.2307/2369145, ISSN  0002-9327, JSTOR  2369145
• Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-01765-8
• Гордан, Пол (1869), "Ueber ternäre Formen dritten Grades" (PDF), Mathematische Annalen, 1: 90–128, Дои:10.1007 / bf01447388, ISSN  0025-5831
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов, Тексты и монографии по символическим вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, CiteSeerX  10.1.1.39.2924, Дои:10.1007/978-3-211-77417-5, ISBN  978-3-211-82445-0, МИСТЕР  1255980