Проблема треугольника сильвестра - Sylvesters triangle problem - Wikipedia

сумма трех равных удлиненных векторов

Теорема Сильвестра или же Формула Сильвестра описывает конкретную интерпретацию суммы трех попарно различных векторов равной длины в контексте геометрия треугольника. Его также называют Задача Сильвестра (треугольник) в литературе, когда это преподносится как проблема, а не как теорема. Теорема названа в честь британского математика. Джеймс Джозеф Сильвестр.

Теорема

Рассмотрим три попарно различных вектора одинаковой длины ${ displaystyle { vec {u}}}$, ${ displaystyle { vec {v}}}$ и ${ displaystyle { vec {w}}}$ каждый из них действует в одной и той же точке ${ displaystyle O}$ таким образом создавая точки ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$. Эти точки образуют треугольник ${ Displaystyle треугольник ABC}$ с ${ displaystyle O}$ как центр его описанный круг. Теперь позвольте ${ displaystyle H}$ обозначить ортоцентр треугольника, то вектор связности ${ displaystyle { overrightarrow {OH}}}$ равно сумме трех векторов:^[1][2]

${ displaystyle { overrightarrow {OH}} = { vec {u}} + { vec {v}} + { vec {w}}}$

Кроме того, поскольку точки ${ displaystyle O}$ и ${ displaystyle H}$ расположены на Линия Эйлера вместе с центроид ${ displaystyle S}$ имеет место следующее уравнение:^[3]

${ displaystyle { overrightarrow {OH}} = 3 cdot { overrightarrow {OS}}}$

Обобщение

сумма трех векторов

Если условие равной длины в теореме Сильвестра опускается и рассматривается только три произвольных попарно различных вектора, то приведенное выше уравнение больше не выполняется. Однако связь с центроидом остается верной, то есть:^[3]

${ displaystyle 3 cdot { overrightarrow {OS}} = { vec {u}} + { vec {v}} + { vec {w}}}$

Это непосредственно следует из определение центроида для конечного множества точек в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, что также дает версию для ${ displaystyle n}$ векторы, действующие на ${ displaystyle O}$:^[3]

${ displaystyle n cdot { overrightarrow {OS}} = sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i}}$

Здесь ${ displaystyle S}$ - центр тяжести вершин многоугольника, порожденного ${ displaystyle n}$ векторы, действующие на ${ displaystyle O}$.^[4]

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема треугольника Сильвестра». MathWorld.
• Дарий Гринберг: Решение американской математической ежемесячной задачи 11398, Стэнли Хуанг - содержит теорему Сильвестра, включая ее доказательство в виде леммы