Обструкция хирургии - Surgery obstruction

В математика особенно в теория хирургии, то хирургические препятствия определить карту ${displaystyle heta двоеточие {mathcal {N}} (X) o L_ {n} (pi _ {1} (X))}$ от нормальные инварианты к L-группы которое в первую очередь является теоретико-множественным отображением (что не обязательно означает гомоморфизм ) со следующим свойством, когда ${displaystyle ngeq 5}$ :

Карта нормалей первой степени ${displaystyle (f, b) двоеточие M o X}$ обычно согласованный к гомотопическая эквивалентность тогда и только тогда, когда изображение ${displaystyle heta (f, b) = 0}$ в ${displaystyle L_ {n} (mathbb {Z} [pi _ {1} (X)])}$ .

Набросок определения

Обструкция хирургического вмешательства карты нормалей первой степени имеет относительно сложное определение.

Рассмотрим карту нормалей первой степени ${displaystyle (f, b) двоеточие M o X}$ . Идея решения вопроса о том, является ли оно обычно кобордантным гомотопической эквивалентности, состоит в том, чтобы попытаться систематически улучшить ${displaystyle (f, b)}$ так что карта ${displaystyle f}$ становится ${displaystyle m}$ -связны (то есть гомотопические группы ${displaystyle pi _ {*} (f) = 0}$ за ${displaystyle * leq m}$ ) для высоких ${displaystyle m}$ . Это следствие Двойственность Пуанкаре что если мы сможем добиться этого за ${displaystyle m> lfloor n / 2floor}$ тогда карта ${displaystyle f}$ уже является гомотопической эквивалентностью. Слово систематически выше относится к тому факту, что кто-то пытается делать операции на ${displaystyle M}$ убивать элементы ${displaystyle pi _ {i} (f)}$ . На самом деле удобнее пользоваться гомология из универсальные чехлы наблюдать, как подключена карта ${displaystyle f}$ является. Точнее, работает с ядра хирургии ${displaystyle K_ {i} ({ilde {M}}): = mathrm {ker} {f _ {*} двоеточие H_ {i} ({ilde {M}}) ightarrow H_ {i} ({ilde {X}} )}}$ который рассматривает как ${displaystyle mathbb {Z} [pi _ {1} (X)]}$ -модули. Если все это исчезнет, то карта ${displaystyle f}$ является гомотопической эквивалентностью. Как следствие двойственности Пуанкаре на ${displaystyle M}$ и ${displaystyle X}$ Существует ${displaystyle mathbb {Z} [pi _ {1} (X)]}$ -модули двойственности Пуанкаре ${displaystyle K ^ {n-i} ({ilde {M}}) cong K_ {i} ({ilde {M}})}$ , поэтому нужно посмотреть только половину из них, то есть те, для которых ${displaystyle ileq lfloor n / 2floor}$ .

Может быть создана карта нормалей любой степени 1 ${displaystyle lfloor n / 2floor}$ - связаны процессом, называемым операцией ниже среднего измерения. Это процесс уничтожения элементов ${displaystyle K_ {i} ({ilde {M}})}$ за ${displaystyle i$ описанный здесь когда у нас есть ${displaystyle p + q = n}$ такой, что ${displaystyle i = p$ . После этого есть два случая.

1. Если ${displaystyle n = 2k}$ то единственной нетривиальной группой гомологий является ядро ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}}): = mathrm {ker} {f _ {*} двоеточие H_ {k} ({ilde {M}}) ightarrow H_ {k} ({ilde {X}} )}}$ . Оказывается, пары чашка-продукт на ${displaystyle M}$ и ${displaystyle X}$ вызвать сочетание чашки и продукта на ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}})}$ . Это определяет симметричную билинейную форму в случае ${displaystyle k = 2l}$ и кососимметричной билинейной формы в случае ${displaystyle k = 2l + 1}$ . Оказывается, эти формы можно уточнить до ${displaystyle varepsilon}$ -квадратичные формы, где ${displaystyle varepsilon = (- 1) ^ {k}}$ . Эти ${displaystyle varepsilon}$ -квадратичные формы определяют элементы в L-группах ${displaystyle L_ {n} (pi _ {1} (X))}$ .

2. Если ${displaystyle n = 2k + 1}$ определение более сложное. Вместо квадратичной формы из геометрии получается квадратичная формация, которая является своего рода автоморфизмом квадратичных форм. Такая вещь определяет элемент нечетномерной L-группы ${displaystyle L_ {n} (pi _ {1} (X))}$ .

Если элемент ${displaystyle heta (f, b)}$ равен нулю в L-группе операция может быть выполнена на ${displaystyle M}$ модифицировать ${displaystyle f}$ к гомотопической эквивалентности.

Геометрически причина, по которой это не всегда возможно, заключается в том, что выполнение операции в среднем измерении для уничтожения элемента в ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}})}$ возможно создает элемент в ${displaystyle K_ {k-1} ({ilde {M}})}$ когда ${displaystyle n = 2k}$ или в ${displaystyle K_ {k} ({ilde {M}})}$ когда ${displaystyle n = 2k + 1}$ . Так что это, возможно, разрушает то, что уже было достигнуто. Однако если ${displaystyle heta (f, b)}$ равно нулю, операции можно организовать так, чтобы этого не произошло.

Пример

В односвязном случае происходит следующее.

Если ${displaystyle n = 2k + 1}$ нет препятствий.

Если ${displaystyle n = 4l}$ тогда обструкция хирургического вмешательства может быть рассчитана как разность сигнатур M и X.

Если ${displaystyle n = 4l + 2}$ то препятствие к перестройке является Arf-инвариантом связанной квадратичной формы ядра над ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ .

Обструкция хирургии - Surgery obstruction

Набросок определения

Пример

Рекомендации