Распространение (интуиционизм) - Spread (intuitionism)

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В интуиционистская математика, вид - это коллекция (аналог классической набор в том, что вид определяется его членами). А распространять особый вид бесконечные последовательности определяется через конечный разрешимый характеристики. В современной терминологии разворот - это обитаемый замкнутый набор последовательностей. Понятие спреда было впервые предложено Л. Э. Дж. Брауэр (1918B), и был использован для определения действительные числа (также называемый континуум ). По мере развития идей Брауэра использование спредов стало обычным явлением в интуиционистская математика, особенно при работе с последовательность выбора и основы интуиционистский анализ (Dumett 77, Troelstra 77).

Простые примеры спредов:

• набор последовательностей четных чисел;
• набор последовательностей целых чисел 1–6;
• набор последовательностей допустимых команд терминала.

Спреды определяются через функция распространения который выполняет (разрешимый ) "проверка" на конечных последовательностях. Понятия спреда и его функция распространения взаимозаменяемы в литературе; оба рассматриваются как одно и то же.

Если все конечные начальные части бесконечной последовательности удовлетворяют "проверке" расширенной функции, то мы можем сказать, что бесконечная последовательность допустимо к распространению.

Теоретически граф, можно думать о спреде как о укорененный, направленный дерево с числовым вершина этикетки.

Формальное определение

В этой статье используется ${ displaystyle langle}$ для обозначения начала последовательности и ${ displaystyle rangle}$ для обозначения конца последовательности.

А функция распространения ${ displaystyle s}$ - это функция, которая отображает конечные последовательности в 0 [т.е. конечная последовательность допустимый к спреду] или 1 [т.е. конечная последовательность недопустимый к развороту] и удовлетворяет следующим свойствам:

• Для любой конечной последовательности ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle}$ либо ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = 0}$ или же ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = 1}$ (недвижимость ${ displaystyle s}$ "тесты" должны быть разрешимыми).

• Учитывая пустую последовательность (последовательность без элементов, представленных ${ Displaystyle langle rangle}$), ${ Displaystyle s ( langle rangle) = 0}$ (пустая последовательность есть в каждом развороте).

• Для любой конечной последовательности ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle}$ такой, что ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = 0}$ тогда должны существовать некоторые ${ displaystyle k}$ такой, что ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i}, k rangle) = 0}$ (каждая конечная последовательность в расширении может быть расширена до другой конечной последовательности в расширении путем добавления дополнительного элемента в конец последовательности)

Учитывая бесконечную последовательность ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots rangle}$, мы говорим, что конечная последовательность ${ displaystyle langle y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {i} rangle}$ является начальный сегмент из ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots rangle}$ если только ${ displaystyle x_ {1} = y_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2} = y_ {2}}$ и и ${ Displaystyle х_ {я} = у_ {я}}$.

Таким образом, мы говорим, что бесконечная последовательность ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots rangle}$ допустимо для спреда, определяемого функцией спреда ${ displaystyle s}$ если и только тогда каждый начальный сегмент ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots rangle}$ допустимо для ${ displaystyle s}$.

Поклонники

Особый тип спреда, который особенно интересен Интуиционистские основы математики это финишный распространять; также известный как поклонник. Основное применение вентиляторов - в теорема вентилятора, результат, использованный при выводе теорема о равномерной непрерывности.

Неформально; функция распространения ${ displaystyle s}$ определяет веер тогда и только тогда, когда для данной конечной последовательности, допустимой для распространения, существует только конечное число возможных значений, которые мы можем добавить в конец этой последовательности, чтобы наша новая расширенная конечная последовательность была допустима для распространения. В качестве альтернативы можно сказать, что существует верхняя граница от стоимости каждого элемент любой последовательности, допустимой к распространению.

Формально; функция распространения ${ displaystyle s}$ определяет веер тогда и только тогда, когда задана любая последовательность, допустимая для распространения ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle}$, то существует несколько ${ displaystyle k}$ такое, что при любом ${ displaystyle j> k}$ тогда ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i}, j rangle) = 1}$ (т.е. для данной последовательности, допустимой для веера, у нас есть только конечное число возможных расширений, которые также допустимы для веера, и мы знаем максимальный элемент, который мы можем добавить к нашей допустимой последовательности, так что расширение остается допустимым).

Вот несколько примеров фанатов:

• набор последовательностей разрешенных шахматных ходов;
• множество бесконечных двоичные последовательности;
• набор последовательностей букв.

Часто используемые развороты / вееры

В этом разделе дается определение двух разворотов, обычно используемых в литературе.

Универсальный спред ( континуум )

Для любой конечной последовательности ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle}$, у нас есть ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = 0}$. Другими словами, это разворот, содержащий все возможные последовательности. Этот разворот часто используется для представления коллекции все последовательность выбора.

Бинарный спред

Для любой конечной последовательности ${ Displaystyle langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle}$, если все наши элементы (${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i}}$) равны 0 или 1, то ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = 0}$, иначе ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = 1}$. Другими словами, это разворот, содержащий все двоичные последовательности.

Одетые спреды

Ключевым применением спредов в основах интуитивно-визитного анализа является использование спредов натуральных (или целых) чисел для представления действительных чисел. Это достигается за счет концепции одетого разворота, которую мы описываем ниже.

А одетый спред пара предметов; распространение ${ displaystyle s}$, и некоторая функция ${ displaystyle f}$ действующие на конечные последовательности.

Примером одетого спреда является разброс целых чисел, таких что ${ Displaystyle s ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = 0}$ если только ${ displaystyle forall y_ {0$, а функция ${ Displaystyle е ( langle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {i} rangle) = x_ {i} * 2 ^ {2-i}}$ (одетый разворот, представляющий действительные числа ).

Рекомендации

• L.E.J. Брауэр Begründung дер Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre, KNAW Verhandelingen, 5: 1–43 (1918A)
• Майкл Даммит Элементы интуиционизма, Oxford University Press (1977)
• A. S. Troelstra Последовательности выбора: глава интуиционистской математики, Clarendon Press (1977)

Заметки автора

Одетые спреды - как мы переходим от спредов к реалам.