Теорема Шпехта - Spechts theorem - Wikipedia

В математике Теорема Шпехта дает необходимое и достаточное условие для двух матрицы быть унитарно эквивалентный. Он назван в честь Вильгельм Шпехт, который доказал теорему в 1940 году.^[1]

Две матрицы А и B как говорят унитарно эквивалентный если существует унитарная матрица U такой, что B = U *AU.^[2] Две унитарно эквивалентные матрицы также похожий. Две похожие матрицы представляют собой одинаковые линейная карта, но по отношению к другому основа; унитарная эквивалентность соответствует переходу от ортонормированный базис к другому ортонормированному базису.

Если А и B унитарно эквивалентны, то tr AA* = tr BB*, где tr обозначает след (другими словами, Норма Фробениуса - унитарный инвариант). Это следует из циклической инвариантности следа: если B = U *AU, то tr BB* = tr U *AUU *А*U = tr AUU *А*UU * = tr AA*, где второе равенство - циклическая инвариантность.^[3]

Таким образом, tr AA* = tr BB* - необходимое условие унитарной эквивалентности, но этого недостаточно. Теорема Шпехта дает бесконечно много необходимых условий, которые в совокупности также достаточны. В формулировке теоремы используется следующее определение. А слово в двух переменных, скажем Икс и у, является выражением формы

${ Displaystyle W (x, y) = x ^ {m_ {1}} y ^ {n_ {1}} x ^ {m_ {2}} y ^ {n_ {2}} cdots x ^ {m_ {p }},}$

куда м₁, п₁, м₂, п₂, …, м_п неотрицательные целые числа. В степень этого слова

${ displaystyle m_ {1} + n_ {1} + m_ {2} + n_ {2} + cdots + m_ {p}.}$

Теорема Шпехта: Две матрицы А и B унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда tr W(А, А*) = tr W(B, B*) для всех слов W.^[4]

Теорема дает бесконечное число тождеств следов, но может быть сведено к конечному подмножеству. Позволять п обозначим размер матриц А и B. По делу п = 2, достаточно трех условий:^[5]

${ displaystyle operatorname {tr} , A = operatorname {tr} , B, quad operatorname {tr} , A ^ {2} = operatorname {tr} , B ^ {2}, quad { text {and}} quad operatorname {tr} , AA ^ {*} = operatorname {tr} , BB ^ {*}.}$

За п = 3, достаточно семи условий:

${ displaystyle { begin {align} & operatorname {tr} , A = operatorname {tr} , B, quad operatorname {tr} , A ^ {2} = operatorname {tr} , B ^ {2}, quad operatorname {tr} , AA ^ {*} = operatorname {tr} , BB ^ {*}, quad operatorname {tr} , A ^ {3} = имя оператора {tr} , B ^ {3}, & имя оператора {tr} , A ^ {2} A ^ {*} = имя оператора {tr} , B ^ {2} B ^ {*} , quad operatorname {tr} , A ^ {2} (A ^ {*}) ^ {2} = operatorname {tr} , B ^ {2} (B ^ {*}) ^ {2} , quad { text {and}} quad operatorname {tr} , A ^ {2} (A ^ {*}) ^ {2} AA ^ {*} = operatorname {tr} , B ^ {2} (B ^ {*}) ^ {2} BB ^ {*}. End {align}}}$  ^[6]

Для общего п, достаточно показать, что tr W(А, А*) = tr W(B, B*) для всех слов степени не более

${ displaystyle n { sqrt {{ frac {2n ^ {2}} {n-1}} + { frac {1} {4}}}} + { frac {n} {2}} - 2 .}$  ^[7]

Было высказано предположение, что это можно свести к выражению, линейному по п.^[8]

Примечания

Рекомендации

• Oković, Dragomir Ž .; Джонсон, Чарльз Р. (2007), «Единично достижимые нулевые шаблоны и следы слов в А и А*", Линейная алгебра и ее приложения, 421 (1): 63–68, Дои:10.1016 / j.laa.2006.03.002, ISSN  0024-3795.
• Freedman, Allen R .; Гупта, Рам Нивас; Гуральник, Роберт М. (1997), "Теорема Ширшова и представления полугрупп", Тихоокеанский математический журнал, 181 (3): 159–176, Дои:10.2140 / pjm.1997.181.159, ISSN  0030-8730.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6.
• Паппасена, Кристофер Дж. (1997), "Верхняя оценка длины конечномерной алгебры", Журнал алгебры, 197 (2): 535–545, Дои:10.1006 / jabr.1997.7140, ISSN  0021-8693.
• Сибирский, К. С. (1976), Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. (на русском), Издат. "Штиинца", Кишинев.
• Шпехт, Вильгельм (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 50: 19–23, ISSN  0012-0456.