Span (теория категорий) - Span (category theory)

В теория категорий, а размах, крыша или переписка является обобщением понятия связь между двумя объекты из категория. Когда в категории есть все откаты (и удовлетворяет небольшому числу других условий), пролеты можно рассматривать как морфизмы в категория фракций.

Формальное определение

Пролет - это диаграмма типа ${displaystyle Lambda = (- 1leftarrow 0ightarrow +1),}$ т.е. диаграмма вида ${displaystyle Yleftarrow Xightarrow Z}$ .

То есть пусть Λ - категория (-1 ← 0 → +1). Тогда промежуток в категории C это функтор S : Λ →C. Это означает, что промежуток состоит из трех объектов Икс, Y и Z из C и морфизмы ж : Икс → Y и г : Икс → Z: это две карты с общим домен.

В копредел пролета - это выталкивание.

Примеры

Если р это связь между наборы Икс и Y (т.е. подмножество из Икс × Y), тогда Икс ← р → Y - промежуток, где карты - это карты проекции ${displaystyle X имеет значение Y {overset {pi _ {X}} {o}} X}$ и ${displaystyle X imes Y {overset {pi _ {Y}} {o}} Y}$ .
Любой объект дает тривиальный промежуток ${displaystyle A = A = A;}$ формально диаграмма А ← А → А, где карты идентичны.
В общем, пусть ${displaystyle phi двоеточие A o B}$ быть морфизмом в некоторой категории. Есть тривиальный промежуток А = А → B; формально диаграмма А ← А → B, где левое отображение - это тождество на А, а правая карта - это данная карта φ.
Если M это категория модели, с участием W набор слабые эквиваленты, то промежутки формы ${displaystyle Xleftarrow Yightarrow Z,}$ где левый морфизм находится в W, можно рассматривать как обобщенный морфизм (то есть, где «инвертируют слабые эквивалентности»). Обратите внимание, что это не обычная точка зрения, используемая при работе с категориями моделей.

Cospans

Cospan K в категории C - функтор K: Λ^op → C; эквивалентно, a контравариантный функтор из Λ в C. То есть диаграмма типа ${displaystyle Lambda ^ {ext {op}} = (- 1ightarrow 0leftarrow +1),}$ т.е. диаграмма вида ${displaystyle Yightarrow Xleftarrow Z}$ .

Таким образом, он состоит из трех объектов Икс, Y и Z из C и морфизмы ж : Y → Икс и г : Z → Икс: это две карты с общим codomain.

В предел коспана - это откат.

Примером коспана является кобордизм W между двумя коллекторы M и N, где две карты - включения в W. Обратите внимание, что хотя кобордизмы являются кобордизмами, категория кобордизмов не является «категорией кобордизмов»: это не категория всех кобордизмов в «категории многообразий с включениями на границе», а скорее категория подкатегория из них, как требование, чтобы M и N образуют перегородку границы W это глобальное ограничение.

Категория nCob конечномерных кобордизмов является кинжал компактная категория. В более общем плане категория Span(C) пролетов по любой категории C с конечными пределами тоже кинжал компактно.

Смотрите также

использованная литература

размах в nLab