Разумность - Soundness

В логика, точнее в дедуктивное мышление, аргумент является звук если это оба действительный по форме и его предпосылкам верны.^[1] Обоснованность также имеет родственное значение в математическая логика, в которой логические системы здоровы если и только если каждый формула что может быть доказано в системе, логически справедливо относительно семантика системы.

Определение

В дедуктивное мышление, веский аргумент - это аргумент, который одновременно действительный, и все предположения которого верны (и, как следствие, его вывод также верен). Аргумент действителен, если при условии, что его посылки верны, заключение должен будь настоящим. Примером веского аргумента является следующее известное силлогизм:

Все люди смертны.

Сократ - мужчина.

Следовательно, Сократ смертен.

Из-за логической необходимости заключения этот аргумент действителен; и поскольку аргумент верен и его посылки верны, аргумент верен.

Однако аргумент может быть верным, но не обоснованным. Например:

Все птицы умеют летать.

Пингвины - птицы.

Следовательно, пингвины умеют летать.

Этот аргумент верен, потому что, если предположить, что посылки верны, вывод должен быть верным. Однако первая посылка неверна. Не все птицы умеют летать (пингвины, страусы, киви и т. Д.). Чтобы аргумент был верным, он должен быть верным. и его посылки должны быть правдой.^[2]

Использование в математической логике

Логические системы

В математическая логика, а логическая система обладает свойством прочности если и только если каждый формула что может быть доказано в системе, логически справедливо относительно семантика системы. В большинстве случаев это сводится к тому, что ее правила обладают свойством сохранение правда.^[3] В разговаривать здравомыслия известен как полнота.

Логическая система с синтаксическим логическое следствие ${displaystyle vdash}$ и семантическое следствие ${displaystyle models}$ является звук если для любого последовательность ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ..., A_ {n}}$ из фразы на своем языке, если ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ..., A_ {n} vdash C}$, тогда ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ..., A_ {n} модели C}$. Другими словами, система здорова, когда все ее теоремы находятся тавтологии.

Разумность - одно из самых фундаментальных свойств математической логики. Свойство надежности дает начальную причину, по которой логическая система считается желательной. В полнота свойство означает, что всякая действительность (истина) доказуема. Вместе они подразумевают, что все и только достоверность доказуема.

Большинство доказательств разумности тривиально.^{[нужна цитата ]} Например, в аксиоматическая система, доказательство разумности сводится к проверке действительности аксиом и того, что правила вывода сохраняют действительность (или более слабое свойство, истину). Если система позволяет Дедукция в стиле Гильберта, он требует только проверки справедливости аксиом и одного правила вывода, а именно modus ponens. (а иногда и подмена)

Свойства звукоизоляции бывают двух основных видов: слабая и сильная, из которых первая является ограниченной формой второй.

Разумность

Прочность дедуктивная система Это свойство состоит в том, что любое предложение, которое можно доказать в этой дедуктивной системе, также верно для всех интерпретаций или структур семантической теории для языка, на котором эта теория основана. В символах, где S это дедуктивная система, L язык вместе с его семантической теорией, и п предложение L: если ⊢_S п, то и ⊨_L п.

Сильная надежность

Сильная надежность дедуктивной системы - это свойство любого предложения п языка, на котором основана дедуктивная система, который выводится из множества Γ предложений этого языка, также является логическое следствие этого множества в том смысле, что любая модель, которая делает все члены Γ истинными, также сделает п истинный. В символах, где Γ - множество предложений L: если Γ ⊢_S п, то и Γ ⊨_L п. Обратите внимание, что в утверждении сильной надежности, когда Γ пусто, мы имеем утверждение слабой надежности.

Арифметическая обоснованность

Если Т теория, объекты дискурса которой можно интерпретировать как натуральные числа, мы говорим Т является арифметически верный если все теоремы Т на самом деле верны в отношении стандартных математических целых чисел. Для получения дополнительной информации см. ω-последовательная теория.

Отношение к полноте

Обратным свойству разумности является семантическое полнота свойство. Дедуктивная система с семантической теорией является строго полной, если каждое предложение п это семантическое следствие множества предложений Γ можно получить в система вычетов из этого набора. В символах: всякий раз, когда Γ ⊨ п, то также Γ ⊢ п. Полнота логика первого порядка был первым явно установленный к Гёдель, хотя некоторые из основных результатов содержались в более ранних работах Сколем.

Неформально теорема о разумности дедуктивной системы выражает истинность всех доказуемых предложений. Полнота утверждает, что все истинные предложения доказуемы.

Первая теорема Гёделя о неполноте показывает, что для языков, достаточных для выполнения определенного количества арифметических операций, не может быть последовательной и эффективной дедуктивной системы, которая была бы полной в отношении предполагаемой интерпретации символики этого языка. Таким образом, не все здравые дедуктивные системы полны в этом особом смысле полноты, в котором класс моделей (вплоть до изоморфизм ) ограничивается предполагаемым. Оригинальное доказательство полноты распространяется на все классические модели, а не какой-то специальный подкласс предполагаемых.

Смотрите также

• Прочность (интерактивное доказательство)

Рекомендации

Библиография

• Хинман, П. (2005). Основы математической логики. А. К. Питерс. ISBN  1-56881-262-0.
• Копи, Ирвинг (1979), Символическая логика (5-е изд.), Macmillan Publishing Co., ISBN  0-02-324880-7
• Булос, Берджесс, Джеффри. Вычислимость и логика, 4-е изд., Кембридж, 2002.

внешняя ссылка

• Обоснованность и обоснованность в Интернет-энциклопедия философии.