Функтор сигнализатора - Signalizer functor

В математике функтор сигнализатора дает пересечения потенциальной подгруппы конечной группы с центраторы нетривиальных элементов абелевой группы. В сигнализатор функтор теорема дает условия, при которых функтор сигнализатора происходит из подгруппы. Идея состоит в том, чтобы попытаться построить ${ displaystyle p '}$-подгруппа конечной группы ${ displaystyle G}$, у которого есть хорошие шансы стать нормальным в ${ displaystyle G}$, взяв в качестве генераторов некоторые ${ displaystyle p '}$-подгруппы централизаторов неединичных элементов в одном или нескольких заданных нециклических элементарных абелевых ${ displaystyle p}$-подгруппы ${ displaystyle G.}$ Эта техника возникла в Теорема Фейта – Томпсона, и впоследствии был разработан многими людьми, включая Горенштейн (1969) кто определил функторы сигнализатора, Глауберман (1976) который доказал теорему о разрешимом сигнализаторе о функторе для разрешимых групп, и МакБрайд (1982a, 1982b ), который доказал это для всех групп. Эта теорема нужна для доказательства так называемой «дихотомии», утверждающей, что данная неабелева конечная простая группа либо имеет локальную характеристику два, либо имеет компонентный тип. Таким образом, он играет важную роль в классификация конечных простых групп.

Определение

Позволять А быть нециклическим элементарным абелевым п-подгруппа конечной группы Г. An Функтор A-сигнализатора включен г или просто функтор сигнализатора когда А и г ясны это отображение θ из множества неединичных элементов А к набору А-инвариантный п'-подгруппы г удовлетворяющие следующим свойствам:

• Для каждого неидентичности ${ displaystyle a in A}$, группа ${ Displaystyle тета (а)}$ содержится в ${ displaystyle C_ {G} (а).}$
• Для каждого неидентичности ${ displaystyle a, b in A}$, у нас есть ${ displaystyle theta (a) cap C_ {G} (b) substeq theta (b).}$

Второе условие выше называется состояние баланса. Если подгруппы ${ Displaystyle тета (а)}$ все разрешимый, то функтор сигнализатора ${ displaystyle theta}$ сам называется разрешимым.

Решаемая теорема о функторе сигнализатора

Данный ${ displaystyle theta,}$ некоторые дополнительные относительно мягкие предположения позволяют доказать, что подгруппа ${ displaystyle W = langle theta (a) mid a in A, a neq 1 rangle}$ из ${ displaystyle G}$ порожденные подгруппами ${ Displaystyle тета (а)}$ на самом деле ${ displaystyle p '}$-подгруппа. Теорема о разрешимом сигнализаторе о функторе, доказанная Глауберманом и упомянутая выше, говорит, что это будет так, если ${ displaystyle theta}$ разрешима и ${ displaystyle A}$ имеет как минимум три генератора. Теорема также утверждает, что при этих предположениях ${ displaystyle W}$ сам будет разрешим.

Было доказано несколько более ранних версий теоремы: Горенштейн (1969) доказал это при более сильном предположении, что ${ displaystyle A}$ имел ранг не ниже 5. Гольдшмидт (1972a, 1972b ) доказал это в предположении, что ${ displaystyle A}$ имели ранг не менее 4 или входили в 2-ю группу ранга не менее 3. Бендер (1975) дал простое доказательство для 2-групп, используя ZJ теорема, и доказательство в аналогичном духе было дано для всех простых чисел Флавелл (2007). Глауберман (1976) дал окончательный результат для решаемых функторов сигнализаторов. Используя классификацию конечных простых групп, МакБрайд (1982a, 1982b ) показало, что ${ displaystyle W}$ это ${ displaystyle p '}$-группа без предположения, что ${ displaystyle theta}$ разрешима.

Полнота

Терминология полноты часто используется при обсуждении функторов сигнализаторов. Позволять ${ displaystyle theta}$ - функтор сигнализатора, как указано выше, и рассмотрим множество И всех ${ displaystyle A}$-инвариантный ${ displaystyle p '}$-подгруппы ${ displaystyle H}$ из ${ displaystyle G}$ удовлетворяющие следующему условию:

• ${ Displaystyle H крышка C_ {G} (а) substeq theta (а)}$ для всех неидентичности ${ displaystyle a in A.}$

Например, подгруппы ${ Displaystyle тета (а)}$ принадлежат И по условию баланса. Функтор сигнализатора ${ displaystyle theta}$ как говорят полный if И имеет единственный максимальный элемент при заказе по включению. В этом случае можно показать, что единственный максимальный элемент совпадает с ${ displaystyle W}$ выше, и ${ displaystyle W}$ называется завершение из ${ displaystyle theta}$. Если ${ displaystyle theta}$ завершено, и ${ displaystyle W}$ оказывается разрешимым, то ${ displaystyle theta}$ как говорят решаемо полный.

Таким образом, теорему о функторе разрешимого сигнализатора можно перефразировать, сказав, что если ${ displaystyle A}$ имеет не менее трех образующих, то каждая разрешимая ${ displaystyle A}$-сигнализатор функтор на ${ displaystyle G}$ разрешимо полно.

Примеры функторов сигнализаторов

Самый простой способ получить функтор сигнализатора - начать с ${ displaystyle A}$-инвариантный ${ displaystyle p '}$-подгруппа ${ displaystyle M}$ из ${ displaystyle G,}$ и определить ${ Displaystyle тета (а) = М крышка C_ {G} (а)}$ для всех неидентичности ${ displaystyle a in A.}$ Однако на практике все начинается с ${ displaystyle theta}$ и использует его для построения ${ displaystyle A}$-инвариантный ${ displaystyle p '}$-группа.

Самый простой функтор сигнализатора, используемый на практике, таков:${ displaystyle theta (a) = O_ {p '} (C_ {G} (a)).}$

Здесь необходимо несколько слов предостережения. Во-первых, обратите внимание, что ${ Displaystyle тета (а)}$ как определено выше, действительно ${ displaystyle A}$-инвариантный ${ displaystyle p '}$-подгруппа ${ displaystyle G}$ потому что ${ displaystyle A}$ абелева. Однако необходимы некоторые дополнительные предположения, чтобы показать, что это ${ displaystyle theta}$ удовлетворяет условию баланса. Достаточным критерием является то, что для каждого неидентификационного ${ displaystyle a in A,}$ группа ${ Displaystyle C_ {G} (а)}$ разрешима (или ${ displaystyle p}$-разрешимый или даже ${ displaystyle p}$-ограниченный). Проверка условия баланса для этого ${ displaystyle theta}$ при этом предположении требуется известная лемма, известная как Томпсона ${ displaystyle P times Q}$-лемма. (Отметим, что эта лемма также называется леммой Томпсона. ${ displaystyle A times B}$-лемма, но ${ displaystyle A}$ в этом использовании не следует путать с ${ displaystyle A}$ фигурирует в определении функтора сигнализатора!)

Совместное действие

Чтобы лучше понять функторы сигнализаторов, необходимо знать следующий общий факт о конечных группах:

• Позволять ${ displaystyle E}$ - абелева нециклическая группа, действующая на конечной группе ${ displaystyle X.}$ Предположим, что порядки ${ displaystyle E}$ и ${ displaystyle X}$ относительно просты. потом

${ displaystyle X = langle C_ {X} (E_ {0}) mid E_ {0} substeq E, { text {and}} E / E_ {0} { text {cyclic}} rangle}$

Для доказательства этого факта используется Теорема Шура – ​​Цассенхауза чтобы показать, что для каждого простого числа ${ displaystyle q}$ разделение порядка ${ displaystyle X,}$ группа ${ displaystyle X}$ имеет ${ displaystyle E}$-инвариантный Силов ${ displaystyle q}$-подгруппа. Это сводится к случаю, когда ${ displaystyle X}$ это ${ displaystyle q}$-группа. Тогда рассуждение по индукции порядка ${ displaystyle X}$ сводит утверждение далее к случаю, когда ${ displaystyle X}$ элементарно абелева с ${ displaystyle E}$ действует несводимо. Это заставляет группу ${ displaystyle E / C_ {E} (X)}$ быть циклическим, и результат следует. Смотрите любую из книг Ашбахер (2000) или Курцвейл и Штельмахер (2004) для подробностей.

Это используется как в доказательстве, так и в приложениях теоремы о разрешимом сигнализаторе о функторе. Для начала обратите внимание, что это быстро подразумевает утверждение, что если ${ displaystyle theta}$ полное, то его пополнение - это группа ${ displaystyle W}$ определено выше.

Нормальное завершение

Завершение функтора сигнализатора имеет "хорошие шансы" быть нормальным в ${ displaystyle G,}$ согласно началу статьи. В данном случае для обоснования этого утверждения будет использован факт взаимного действия. Позволять ${ displaystyle theta}$ быть полным ${ displaystyle A}$-сигнализатор функтор на ${ displaystyle G}$

Позволять ${ displaystyle B}$ нециклическая подгруппа в ${ displaystyle A.}$ Тогда из факта взаимно простого действия вместе с условием баланса следует, что${ Displaystyle W = langle theta (a) mid a in A, a neq 1 rangle = langle theta (b) mid b in B, b neq 1 rangle}$.

Чтобы увидеть это, обратите внимание, потому что ${ Displaystyle тета (а)}$ является B-инвариантно, имеем

${ displaystyle theta (a) = langle theta (a) cap C_ {G} (b) mid b in B, b neq 1 rangle substeq langle theta (b) mid b in B, b neq 1 rangle.}$

В приведенном выше равенстве используется факт взаимного простого действия, а в содержании - условие баланса. Теперь часто бывает, что ${ displaystyle theta}$ удовлетворяет условию "эквивариантности", а именно, что для каждого ${ displaystyle g in G}$ и неидентичность ${ displaystyle a in A}$

${ Displaystyle тета (а ^ {г}) = тета (а) ^ {г}. ,}$

Верхний индекс означает сопряжение ${ displaystyle g.}$ Например, отображение ${ Displaystyle а mapsto O_ {p '} (C_ {G} (а))}$ (который часто является функтором сигнализатора!) удовлетворяет этому условию. Если ${ displaystyle theta}$ удовлетворяет эквивариантности, затем нормализатор ${ displaystyle B}$ нормализует ${ displaystyle W.}$ Отсюда следует, что если ${ displaystyle G}$ порождается нормализаторами нециклических подгрупп группы ${ displaystyle A,}$ затем завершение ${ displaystyle theta}$ (т.е. W) нормально в ${ displaystyle G.}$

использованная литература

• Ашбахер, Михаэль (2000), Теория конечных групп, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-78675-1
• Бендер, Гельмут (1975), "Теорема Гольдшмидта о 2-сигнализаторе о функторе", Израильский математический журнал, 22 (3): 208–213, Дои:10.1007 / BF02761590, ISSN  0021-2172, Г-Н  0390056
• Флавелл, Пол (2007), Новое доказательство теоремы о разрешимом сигнализаторе о функторе (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2012-04-14
• Гольдшмидт, Дэвид М. (1972a), "Решаемые функторы сигнализатора на конечных группах", Журнал алгебры, 21: 137–148, Дои:10.1016/0021-8693(72)90040-3, ISSN  0021-8693, Г-Н  0297861
• Гольдшмидт, Дэвид М. (1972b), "Функторы 2-сигнализаторов на конечных группах", Журнал алгебры, 21: 321–340, Дои:10.1016/0021-8693(72)90027-0, ISSN  0021-8693, Г-Н  0323904
• Глауберман, Джордж (1976), "О разрешимых сигнализаторах в конечных группах", Труды Лондонского математического общества, Третья серия, 33 (1): 1–27, Дои:10.1112 / плмс / с3-33.1.1, ISSN  0024-6115, Г-Н  0417284
• Горенштейн, Д. (1969), «О централизаторах инволюций в конечных группах», Журнал алгебры, 11: 243–277, Дои:10.1016/0021-8693(69)90056-8, ISSN  0021-8693, Г-Н  0240188
• Курцвейл, Ганс; Штельмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b97433, ISBN  978-0-387-40510-0, Г-Н  2014408
• Макбрайд, Патрик Паскаль (1982a), «Почти разрешимые сигнализаторы на конечных группах» (PDF), Журнал алгебры, 78 (1): 181–214, Дои:10.1016/0021-8693(82)90107-7, ISSN  0021-8693, Г-Н  0677717
• Макбрайд, Патрик Пашал (1982b), "Неразрешимые сигнализирующие функторы на конечных группах", Журнал алгебры, 78 (1): 215–238, Дои:10.1016/0021-8693(82)90108-9, HDL:2027.42/23876, ISSN  0021-8693