Теорема Шнайдера – Ланга - Schneider–Lang theorem

В математике Теорема Шнайдера – Ланга это уточнение Ланг (1966) теоремы Шнайдер (1949) о превосходство ценностей мероморфные функции. Из теоремы следует как Эрмит – Линдеманн и Теоремы Гельфонда – Шнайдера, и подразумевает трансцендентность некоторых значений эллиптические функции и эллиптические модульные функции.

Заявление

Исправить числовое поле $K$ и мероморфный $ж 1,\dots, ж N$ , из которых не менее двух алгебраически независимы и имеют заказы $ρ 1$ и $ρ 2$ , и такой, что $ж j' \in K [ж 1,\dots, ж N]$ для любого $j$ . Тогда есть не больше

{ Displaystyle ( rho _ {1} + rho _ {2}) [K: mathbb {Q}]. ,}

отчетливый сложные числа $ω 1,\dots, ω м$ такой, что $ж я (ω j)\in K$ для всех комбинаций $я$ и $j$ .

Примеры

Если $ж 1 (z) = z$ и $ж 2 (z) = е z$ то из теоремы следует Теорема Эрмита – Линдемана. который $е α$ трансцендентна для ненулевых алгебраических $α$ : иначе, $α, 2 α, 3 α, \dots$ будет бесконечное количество значений, при которых оба $ж 1$ и $ж 2$ являются алгебраическими.
Аналогичным образом принимая $ж 1 (z) = е z$ и $ж 2 (z) = е βz$ за $β$ иррациональная алгебраика влечет Теорема Гельфонда – Шнайдера что если $α$ и $α β$ алгебраичны, то $α\in {0,1}$ : иначе, $бревно(α), 2log (α), 3log (α), \dots$ будет бесконечное количество значений, при которых оба $ж 1$ и $ж 2$ являются алгебраическими.
Напомним, что P функция Вейерштрасса удовлетворяет дифференциальному уравнению

{ Displaystyle wp '(z) ^ {2} = 4 wp (z) ^ {3} -g_ {2} wp (z) -g_ {3}. ,}

Считая три функции

z

,

℘(αz)

,

℘' (αz)

показывает, что для любого алгебраического

α

, если

грамм 2 (α)

и

грамм 3 (α)

алгебраичны, то

℘(α)

трансцендентен.

Считая функции $z$ и $е f (z)$ для полинома $ж$ степени $ρ$ показывает, что количество точек, в которых все функции являются алгебраическими, может линейно расти с порядком $ρ = град (ж)$ .

Доказательство

Для доказательства результата Лэнг взял две алгебраически независимые функции из $ж 1,\dots, ж N$ , сказать, $ж$ и $грамм$ , а затем создал вспомогательную функцию $F \in K [ж, грамм]$ . С помощью Лемма Зигеля, затем он показал, что можно предположить $F$ исчез в высшей степени на $ω 1, ..., ω м$ . Таким образом, производная высокого порядка от $F$ принимает значение малого размера в одном таком $ω я$ s, "размер" здесь относится к алгебраическое свойство числа. С использованием принцип максимального модуля, Ланг также нашел отдельную оценку для абсолютных значений производных $F$ . Стандартные результаты связывают размер числа и его абсолютное значение, а комбинированные оценки подразумевают заявленную границу $м$ .

Теорема Бомбьери

Бомбьери и Ланг (1970) и Бомбьери (1970) обобщил результат на функции нескольких переменных. Бомбьери показал, что если K поле алгебраических чисел и ж₁, ..., ж_N являются мероморфными функциями d комплексные переменные порядка не выше ρ, порождающие поле K( ж₁, ..., ж_N) степени трансцендентности не менее d + 1, замкнутая относительно всех частных производных, то множество точек, в которых все функции ж_п иметь ценности в K содержится в алгебраической гиперповерхности в C^d степени не более

{ displaystyle d ((d + 1) rho [K: mathbb {Q}] +1).}

Вальдшмидт (1979, теорема 5.1.1) дало более простое доказательство теоремы Бомбьери с несколько более сильной оценкой d(ρ₁+ ... + ρ_d+1)[K:Q] для степени, где ρ_j приказы d+1 алгебраически независимые функции. Особый случай d = 1 дает теорему Шнайдера – Ланга с оценкой (ρ₁+ ρ₂)[K:Q] для количества баллов.

Пример

Если п - многочлен с целыми коэффициентами, то функции z₁,...,z_п, е^{п(z₁,...,z_п)} все алгебраичны в плотном множестве точек гиперповерхности п=0.