Масштабный анализ (математика) - Scale analysis (mathematics)

Подходящее приближение
Концепции
Порядки приближения Масштабный анализ  · Обозначение Big O Подгонка кривой  · Ложная точность Значимые фигуры
Прочие основы
Приближение  · Ошибка обобщения Полином Тейлора Научное моделирование

Масштабный анализ (или же анализ по порядку величины) - мощный инструмент, используемый в математические науки для упрощения уравнения со многими условиями. Сначала определяется приблизительная величина отдельных членов в уравнениях. Тогда можно не обращать внимания на некоторые пренебрежимо малые члены.

Пример: вертикальный импульс в метеорологии синоптического масштаба

Рассмотрим, например, уравнение импульса из Уравнения Навье – Стокса в вертикальном координатном направлении атмосферы

${ displaystyle {{ partial w} over { partial t}} + u { frac { partial w} { partial x}} + v { frac { partial w} { partial y}} + w { frac { partial w} { partial z}} - { frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {R}} = - {{ frac {1} { varrho}} { frac { partial p} { partial z}}} - g + 2 { Omega u cos varphi} + nu left ({ frac { partial ^ {2} w} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} w} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} w} { partial z ^ {2} }} right), qquad (1)}$

куда р является земной шар радиус, Ω равен частота вращения Земли, грамм является гравитационное ускорение, φ - широта, ρ - плотность воздуха и ν кинематическая вязкость воздуха (турбулентностью в свободная атмосфера ).

В синоптическая шкала можно ожидать горизонтальных скоростей около U = 10¹ РС⁻¹ и вертикально около W = 10⁻² РС⁻¹. Горизонтальный масштаб равен L = 10⁶ м и вертикальный масштаб ЧАС = 10⁴ м. Типичная шкала времени Т = L/U = 10⁵ с. Перепады давления в тропосфере составляют ΔP = 10⁴ Па и плотность воздуха ρ = 10⁰ кг · м⁻³. Остальные физические свойства примерно следующие:

р = 6.378 × 10⁶ м;

Ом = 7,292 × 10⁻⁵ рад · с^−1;

ν = 1,46 × 10⁻⁵ м²· С^−1;

грамм = 9,81 м · с^−2.

Оценки различных членов в уравнении (1) могут быть сделаны с использованием их шкал:

${ displaystyle { begin {align} {{ partial w} over { partial t}} & sim { frac {W} {T}} [1.2ex] и { frac { partial w } { partial x}} & sim U { frac {W} {L}} & qquad v { frac { partial w} { partial y}} & sim U { frac {W} { L}} & qquad w { frac { partial w} { partial z}} & sim W { frac {W} {H}} [1.2ex] { frac {u ^ {2} } {R}} & sim { frac {U ^ {2}} {R}} & qquad { frac {v ^ {2}} {R}} & sim { frac {U ^ {2 }} {R}} [1.2ex] { frac {1} { varrho}} { frac { partial p} { partial z}} и sim { frac {1} { varrho} } { frac { Delta P} {H}} & qquad Omega u cos varphi & sim Omega U [1.2ex] nu { frac { partial ^ {2} w} { partial x ^ {2}}} & sim nu { frac {W} {L ^ {2}}} & qquad nu { frac { partial ^ {2} w} { partial y ^ {2}}} & sim nu { frac {W} {L ^ {2}}} & qquad nu { frac { partial ^ {2} w} { partial z ^ {2}} } & sim nu { frac {W} {H ^ {2}}} end {выровнено}}}$

Теперь мы можем ввести эти шкалы и их значения в уравнение (1):

${ displaystyle { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {5}}} + 10 { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6}}} + 10 { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {6}}} + 10 ^ {- 2} { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {4}}} - { frac {10 ^ {2} + 10 ^ {2}} {10 ^ {6}}}}$

${ displaystyle = - {{ frac {1} {1}} { frac {10 ^ {4}} {10 ^ {4}}}} - 10 + 2 times 10 ^ {- 4} times 10 +10 ^ {- 5} left ({ frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {12}}} + { frac {10 ^ {- 2}} {10 ^ {8}}} right). qquad (2)}$

Мы видим, что все члены, кроме первого и второго справа, пренебрежимо малы. Таким образом, мы можем упростить уравнение вертикального импульса до гидростатическое равновесие уравнение:

${ displaystyle {{ frac {1} { varrho}} { frac { partial p} { partial z}}} = - g. qquad (3)}$

Правила масштабного анализа

Масштабный анализ - очень полезный и широко используемый инструмент для решения задач в области теплопередачи и механики жидкости, приводимой под давлением пристенной струи, разделения потоков за обратными ступенями, струйного диффузионного пламени, исследования линейной и нелинейной динамики. Масштабный анализ рекомендуется в качестве основного метода для получения максимальной информации на единицу интеллектуальных усилий, несмотря на то, что это предварительное условие для хорошего анализа в безразмерной форме. Целью масштабного анализа является использование основных принципов конвективной теплопередачи для получения оценок по порядку величины для представляющих интерес величин. Масштабный анализ предполагает, что при правильном выполнении с коэффициентом порядка одного дорогостоящие результаты, полученные при точном анализе. Масштабный анализ показал следующее:

Правило1- Первым шагом в масштабном анализе является определение области экстента, в которой мы применяем масштабный анализ. Любой масштабный анализ области потока, который не определен однозначно, недействителен.

Правило2- Одно уравнение представляет собой эквивалентность двух основных членов, входящих в уравнение. Например,

${ displaystyle rho c_ {P} {{ partial T} over { partial t}} = k { frac { partial ^ {2} T} { partial x ^ {2}}}.}$

В приведенном выше примере левая часть может иметь такой же порядок величины, что и правая часть.

Правило 3- Если в сумме двух слагаемых

${ displaystyle c = a + b}$

порядок величины одного члена больше, чем порядок величины другого члена

${ Displaystyle О (а)> О (б)}$

то порядок величины суммы определяется доминирующим членом

${ Displaystyle О (с) = О (а)}$

Тот же вывод верен, если у нас есть разница двух членов

${ displaystyle c = a-b}$

Правило4- В сумме двух членов, если два члена имеют одинаковый порядок величины,

${ displaystyle c = a + b}$

${ Displaystyle О (а) = О (Ь)}$

тогда сумма также будет того же порядка:

${ Displaystyle О (а) толстый О (б) толстый О (с)}$

Правило 5- В случае произведения двух условий

${ displaystyle p = ab}$

порядок величины продукта равен произведению порядков величины двух факторов

${ Displaystyle О (п) = О (а) О (б)}$

для соотношений

${ displaystyle r = { frac {a} {b}}}$

тогда

${ Displaystyle О (г) = { гидроразрыва {О (а)} {О (б)}}}$

здесь O (a) представляет собой порядок величины a.

~ представляет два члена одного порядка величины.

> представляет собой больше чем в смысле порядка величины.

Развитие потока во входной зоне воздуховода с параллельными пластинами

Масштабный анализ полностью развитого потока

Рассмотрим стационарный ламинарный поток вязкой жидкости внутри круглой трубы. Пусть жидкость входит с равномерной скоростью в потоке поперечного сечения. Когда жидкость движется по трубе, образуется пограничный слой низкоскоростной жидкости, который растет на поверхности, потому что жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности, имеет нулевую скорость. Особым и упрощающим признаком вязкого течения внутри цилиндрических трубок является тот факт, что пограничный слой должен встречаться на центральной линии трубы, и тогда распределение скоростей устанавливает фиксированную картину, которая является инвариантной. Гидродинамическая входная длина - это та часть трубы, в которой импульсный пограничный слой растет, а распределение скорости изменяется с длиной. Фиксированное распределение скорости в полностью развитой области называется полностью развитым профилем скорости. Непрерывность в установившемся режиме и сохранение уравнений импульса в двумерном пространстве являются

${ displaystyle {{ partial u} over { partial x}} + { frac { partial v} { partial y}} = 0, qquad (1)}$

${ displaystyle u {{ partial u} over { partial x}} + v { frac { partial u} { partial y}} = - {{ frac {1} { varrho}} { frac { partial P} { partial x}}} + nu left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ { 2} u} { partial y ^ {2}}} right), qquad (2)}$

${ displaystyle u {{ partial v} over { partial x}} + v { frac { partial v} { partial y}} = - {{ frac {1} { varrho}} { frac { partial P} { partial y}}} + nu left ({ frac { partial ^ {2} v} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ { 2} v} { partial y ^ {2}}} right), qquad (3)}$

Эти уравнения можно упростить, используя масштабный анализ. В любой момент ${ displaystyle x sim L}$ в полностью развитой зоне у нас есть ${ displaystyle y sim delta}$ и ${ displaystyle u sim U _ { infty}}$. Теперь из уравнения (1), поперечная составляющая скорости в полностью развитой области упрощается с использованием масштабирования как

${ displaystyle { begin {align} v & sim { frac {U _ { infty} delta} {L}} qquad (4) end {align}}}$

В полностью развитом регионе ${ displaystyle L >> delta}$, так что масштаб поперечной скорости пренебрежимо мал из уравнения (4). Поэтому в полностью развитом потоке уравнение неразрывности требует, чтобы

${ displaystyle v = 0, {{ partial u} over { partial x}} = 0 qquad (5)}$

На основании уравнения (5) уравнение импульса y (3) сводится к

${ displaystyle {{ partial P} over { partial y}} = 0 qquad (6)}$

это означает, что P является функцией только x. Отсюда уравнение импульса x становится

${ displaystyle {{dP} over {dx}} = mu {{d ^ {2} u} over {dy ^ {2}}} = константа qquad (7)}$

Каждый член должен быть постоянным, потому что левая часть является функцией только x, а правая - функцией y. Решая уравнение (7) с граничным условием

${ displaystyle u = 0, y = pm { frac {D} {2}} qquad (8)}$

это приводит к хорошо известному решению Хагена – Пуазейля для полностью развитого потока между параллельными пластинами.

${ displaystyle u = { frac {3} {2}} U [1 - {({ frac {y} {D / 2}})} ^ {2}] qquad (9)}$

${ Displaystyle U = { гидроразрыва {D ^ {2}} {12 mu}} (- { frac {dP} {dx}}) qquad (10)}$

где y отсчитывается от центра канала. Скорость должна быть параболической и пропорциональной давлению на единицу длины воздуховода в направлении потока.

Смотрите также

• Приближение
• Размерный анализ

Рекомендации

• Баренблатт, Г.И. (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточные асимптотики. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-43522-6.
• Теннекес, Х.; Ламли, Джон Л. (1972). Первый курс в турбулентности. MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN  0-262-20019-8.
• Бежан, А. (2004). Конвекционная теплопередача. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-81-265-0934-8.
• Кейс, У. М., Кроуфорд М. Э. (2012). Конвективный тепло- и массообмен.. McGraw Hill Education (Индия). ISBN  978-1-25-902562-4.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

внешняя ссылка

• Масштабный анализ и числа Рейнольдса