Основная теорема Рамануджана - Ramanujans master theorem - Wikipedia

В математика, Основная теорема Рамануджана (названный в честь Шриниваса Рамануджан[1]) - это метод, который дает аналитическое выражение для Преобразование Меллина из аналитическая функция.

Страница из записной книжки Рамануджана, излагающая его основную теорему.

Результат заявлен следующим образом:

Если комплексная функция имеет расширение вида

затем Преобразование Меллина из дан кем-то

куда это гамма-функция.

Рамануджан широко использовал его для вычисления определенных интегралов и бесконечная серия.

Более многомерные версии этой теоремы также появляются в квантовая физика (через Диаграммы Фейнмана ).[2]

Аналогичный результат был получен и Глейшер.[3]

Альтернативный формализм

Альтернативная формулировка основной теоремы Рамануджана выглядит следующим образом:

который преобразуется в приведенную выше форму после замены и используя функциональное уравнение для гамма-функция.

Приведенный выше интеграл сходится при в зависимости от условий роста на .[4]

Доказательство

Доказательство основной теоремы Рамануджана с учетом «естественных» предположений (хотя и не самых слабых необходимых условий) было предоставлено Г. Х. Харди[5] используя теорема о вычетах и известные Теорема обращения Меллина.

Приложение к многочленам Бернулли

Производящая функция Полиномы Бернулли дан кем-то:

Эти полиномы задаются в терминах Дзета-функция Гурвица:

к за . Используя основную теорему Рамануджана и производящую функцию многочленов Бернулли, можно получить следующее интегральное представление:[6]

что действительно для .

Применение к гамма-функции

Определение Вейерштрасса гамма-функции

эквивалентно выражению

куда это Дзета-функция Римана.

Затем, применяя основную теорему Рамануджана, мы имеем:

Годен до .

Особые случаи и находятся

Рекомендации

  1. ^ Берндт, Б. (1985). Записные книжки Рамануджана, часть I. Нью-Йорк: Springer-Verlag.
  2. ^ Гонсалес, Иван; Moll, V.H .; Шмидт, Иван (2011). «Обобщенная основная теорема Рамануджана, применяемая к оценке диаграмм Фейнмана». arXiv:1103.0588 [математика ].
  3. ^ Glaisher, J.W.L. (1874 г.). «Новая формула в определенных интегралах». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 48 (315): 53–55. Дои:10.1080/14786447408641072.
  4. ^ Амдеберхан, Теодрос; Гонсалес, Иван; Харрисон, Маршалл; Moll, Victor H .; Штрауб, Армин (2012). «Основная теорема Рамануджана». Рамануджанский журнал. 29 (1–3): 103–120. CiteSeerX  10.1.1.232.8448. Дои:10.1007 / s11139-011-9333-у.
  5. ^ Харди, Г. (1978). Рамануджан: Двенадцать лекций на темы, подсказанные его жизнью и работой (3-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. ISBN  978-0-8284-0136-4.
  6. ^ Espinosa, O .; Молл В. (2002). «О некоторых определенных интегралах, включающих дзета-функцию Гурвица. Часть 2». Рамануджанский журнал. 6 (4): 449–468. arXiv:математика / 0107082. Дои:10.1023 / А: 1021171500736.

внешняя ссылка