Квинтическая функция - Quintic function

График многочлена степени 5 с 3 действительными нулями (корнями) и 4 критические точки.

В алгебра, а квинтическая функция это функция формы

${ displaystyle g (x) = ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f, ,}$

куда а, б, c, d, е и ж являются членами поле, обычно рациональное число, то действительные числа или сложные числа, и а отличен от нуля. Другими словами, квинтическая функция определяется многочлен из степень пять.

Поскольку они имеют нечетную степень, нормальные квинтические функции кажутся похожими на нормальные кубические функции на графике, за исключением того, что они могут иметь дополнительный локальный максимум и местный минимум каждый. В производная квинтики является функция четвертой степени.

Параметр грамм(Икс) = 0 и предполагая а ≠ 0 производит уравнение пятой степени формы:

${ displaystyle ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f = 0. ,}$

Решение уравнений пятой степени в терминах радикалов было основной проблемой алгебры с 16 века, когда кубический и уравнения четвертой степени были решены до первой половины XIX века, когда невозможность такого общего решения была доказана с помощью Теорема Абеля – Руффини.

Нахождение корней уравнения пятой степени

Нахождение корней заданного многочлена было важной математической проблемой.

Решение линейный, квадратичный, кубический и уравнения четвертой степени к факторизация в радикалы всегда можно сделать, независимо от того, являются ли корни рациональными или иррациональными, реальными или сложными; есть формулы, дающие требуемые решения. Однако нет алгебраическое выражение (то есть в терминах радикалов) для решений общих уравнений пятой степени над рациональными числами; это заявление известно как Теорема Абеля – Руффини, впервые утвержденный в 1799 г. и полностью доказанный в 1824 г. Этот результат также верен для уравнений более высоких степеней. Примером квинтики, корни которой нельзя выразить через радикалы, является Икс⁵ − Икс + 1 = 0. Эта квинтика находится в Нормальная форма Бринга – Джеррарда.

Некоторые квинтики могут быть решены в терминах радикалов. Однако решение, как правило, слишком сложно для практического использования. Вместо этого численные приближения рассчитываются с использованием алгоритм поиска корней для многочленов.

Решаемые квинтики

Некоторые уравнения пятой степени могут быть решены в терминах радикалов. К ним относятся уравнения пятой степени, определяемые полиномом, который равен сводимый, Такие как Икс⁵ − Икс⁴ − Икс + 1 = (Икс² + 1)(Икс + 1)(Икс − 1)². Например, было показано^[1] который

${ displaystyle x ^ {5} -x-r = 0}$

имеет решения в радикалах тогда и только тогда, когда имеет целочисленное решение или р имеет одно из значений ± 15, ± 22440 или ± 2759640, и в этом случае многочлен приводим.

Поскольку решение приводимых уравнений пятой степени немедленно сводится к решению многочленов более низкой степени, в оставшейся части этого раздела рассматриваются только неприводимые уравнения пятой степени, а термин «квинтика» будет относиться только к неприводимым квинтикам. А разрешимая квинтика таким образом, является неприводимым многочленом пятой степени, корни которого можно выразить через радикалы.

Чтобы охарактеризовать разрешимые квинтики и, в более общем смысле, разрешимые многочлены более высокой степени, Эварист Галуа разработанные методы, которые привели к теория групп и Теория Галуа. Применяя эти методы, Артур Кэли нашел общий критерий для определения разрешимости любой данной квинтики.^[2] Этот критерий следующий.^[3]

Учитывая уравнение

${ displaystyle ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f = 0,}$

в Трансформация Чирнхауса Икс = у − б/5а, который подавляет пятую часть (то есть удаляет член четвертой степени), дает уравнение

${ displaystyle y ^ {5} + py ^ {3} + qy ^ {2} + ry + s = 0}$,

куда

${ displaystyle { begin {align} p & = { frac {5ac-2b ^ {2}} {5a ^ {2}}} q & = { frac {25a ^ {2} d-15abc + 4b ^ {3}} {25a ^ {3}}} r & = { frac {125a ^ {3} e-50a ^ {2} bd + 15ab ^ {2} c-3b ^ {4}} {125a ^ {4}}} s & = { frac {3125a ^ {4} f-625a ^ {3} be + 125a ^ {2} b ^ {2} d-25ab ^ {3} c + 4b ^ {5 }} {3125a ^ {5}}} конец {выровнено}}}$

Обе квинтики разрешимы в радикалах тогда и только тогда, когда либо они факторизуемы в уравнениях младших степеней с рациональными коэффициентами, либо полином п² − 1024zΔ, названный Резольвента Кэли, имеет рациональный корень в z, куда

${ displaystyle P = z ^ {3} -z ^ {2} (20r + 3p ^ {2}) - z (8p ^ {2} r-16pq ^ {2} -240r ^ {2} + 400sq-3p ^ {4})}$

${ displaystyle {} -p ^ {6} + 28p ^ {4} r-16p ^ {3} q ^ {2} -176p ^ {2} r ^ {2} -80p ^ {2} sq + 224prq ^ {2} -64q ^ {4}}$

${ displaystyle {} + 4000ps ^ {2} + 320r ^ {3} -1600rsq}$

и

${ displaystyle Delta = -128p ^ {2} r ^ {4} + 3125s ^ {4} -72p ^ {4} qrs + 560p ^ {2} qr ^ {2} s + 16p ^ {4} r ^ {3} + 256r ^ {5} + 108p ^ {5} s ^ {2}}$

${ displaystyle {} -1600qr ^ {3} s + 144pq ^ {2} r ^ {3} -900p ^ {3} rs ^ {2} + 2000pr ^ {2} s ^ {2} -3750pqs ^ {3 } + 825p ^ {2} q ^ {2} s ^ {2}}$

${ displaystyle {} + 2250q ^ {2} rs ^ {2} + 108q ^ {5} s-27q ^ {4} r ^ {2} -630pq ^ {3} rs + 16p ^ {3} q ^ { 3} s-4p ^ {3} q ^ {2} r ^ {2}.}$

Результат Кэли позволяет нам проверить, разрешима ли квинтика. Если это так, то найти его корни - более сложная задача, которая состоит в выражении корней в терминах радикалов, включающих коэффициенты квинтики и рациональный корень резольвенты Кэли.

В 1888 г. Джордж Пакстон Янг^[4] описал, как решить уравнение пятой степени, без предоставления явной формулы; Дэниел Лазард выписал трехстраничную формулу (Lazard (2004)).

Quintics в форме Бринга – Джеррарда

Существует несколько параметрических представлений разрешимых квинтик вида Икс⁵ + топор + б = 0, называется Принесите - форма Джеррарда.

Во второй половине XIX века Джон Стюарт Глашан, Джордж Пакстон Янг и Карл Рунге дал такую ​​параметризацию: несводимый квинтика с рациональными коэффициентами в форме Бринга – Джеррарда разрешима тогда и только тогда, когда либо а = 0 или это может быть написано

${ displaystyle x ^ {5} + { frac {5 mu ^ {4} (4 nu +3)} { nu ^ {2} +1}} x + { frac {4 mu ^ {5 } (2 nu +1) (4 nu +3)} { nu ^ {2} +1}} = 0}$

куда μ и ν рациональны.

В 1994 году Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс предложили альтернативу:

${ displaystyle x ^ {5} + { frac {5e ^ {4} (4c + 3)} {c ^ {2} +1}} x + { frac {-4e ^ {5} (2c-11) } {c ^ {2} +1}} = 0.}$

Связь между параметризациями 1885 и 1994 годов можно увидеть, определив выражение

${ displaystyle b = { frac {4} {5}} left (a + 20 pm 2 { sqrt {(20-a) (5 + a)}} right)}$

куда а = 5(4ν + 3)/ν² + 1. Использование отрицательного случая квадратного корня дает после масштабирования переменных первую параметризацию, а положительный случай дает вторую.

Замена c = −м/л⁵, е = 1/л в параметризации Спирмена-Вильямса позволяет не исключать частный случай а = 0, давая следующий результат:

Если а и б - рациональные числа, уравнение Икс⁵ + топор + б = 0 разрешима в радикалах, если либо его левая часть является произведением многочленов степени меньше 5 с рациональными коэффициентами, либо существует два рациональных числа л и м такой, что

${ displaystyle a = { frac {5l (3l ^ {5} -4m)} {m ^ {2} + l ^ {10}}} qquad b = { frac {4 (11l ^ {5} + 2m)} {m ^ {2} + l ^ {10}}}.}$

Корни разрешимой квинтики

Полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах, если его Группа Галуа это разрешимая группа. В случае неприводимых квинтик группа Галуа является подгруппой группы симметричная группа S₅ всех перестановок пятиэлементного множества, которое разрешимо тогда и только тогда, когда оно является подгруппой группы F₅, порядка 20, порожденные циклическими перестановками (1 2 3 4 5) и (1 2 4 3).

Если квинтика разрешима, одно из решений может быть представлено алгебраическое выражение включающий корень пятой степени и не более двух квадратных корней, обычно вложенный. Другие решения могут быть получены либо путем изменения корня пятой степени, либо путем умножения всех вхождений корня пятой степени на ту же степень примитивный корень пятой степени из единства

${ displaystyle { frac {{ sqrt {-10-2 { sqrt {5}}}} + { sqrt {5}} - 1} {4}}.}$

Все четыре примитивных корня пятой степени из единицы можно получить, соответствующим образом изменив знаки квадратных корней, а именно:

${ displaystyle { frac { alpha { sqrt {-10-2 beta { sqrt {5}}}} + beta { sqrt {5}} - 1} {4}},}$

куда ${ displaystyle alpha, beta in {- 1,1 }}$, что дает четыре различных примитивных корня пятой степени из единства.

Отсюда следует, что для записи всех корней разрешимой квинтики может потребоваться четыре различных квадратных корня. Даже для первого корня, который включает не более двух квадратных корней, выражение решений в терминах радикалов обычно очень сложно. Однако, когда квадратный корень не нужен, форма первого решения может быть довольно простой, как для уравнения Икс⁵ − 5Икс⁴ + 30Икс³ − 50Икс² + 55Икс − 21 = 0, для которого единственным реальным решением является

${ displaystyle x = 1 + { sqrt [{5}] {2}} - left ({ sqrt [{5}] {2}} right) ^ {2} + left ({ sqrt [ {5}] {2}} right) ^ {3} - left ({ sqrt [{5}] {2}} right) ^ {4}.}$

Пример более сложного (хотя и достаточно маленького, чтобы быть записанным здесь) решения - единственный действительный корень Икс⁵ − 5Икс + 12 = 0. Позволять а = √2φ⁻¹, б = √2φ, и c = ⁴√5, куда φ = 1+√5/2 это Золотое сечение. Тогда единственное реальное решение Икс = −1.84208… дан кем-то

${ displaystyle -cx = { sqrt [{5}] {(a + c) ^ {2} (bc)}} + { sqrt [{5}] {(- a + c) (bc) ^ { 2}}} + { sqrt [{5}] {(a + c) (b + c) ^ {2}}} - { sqrt [{5}] {(- a + c) ^ {2} (b + c)}} ,,}$

или, что то же самое,

${ displaystyle x = { sqrt [{5}] {y_ {1}}} + { sqrt [{5}] {y_ {2}}} + { sqrt [{5}] {y_ {3}) }} + { sqrt [{5}] {y_ {4}}} ,,}$

где у_я четыре корня уравнение четвертой степени

${ displaystyle y ^ {4} + 4y ^ {3} + { frac {4} {5}} y ^ {2} - { frac {8} {5 ^ {3}}} y - { frac {1} {5 ^ {5}}} = 0 ,.}$

В более общем смысле, если уравнение п(Икс) = 0 высшей степени п с рациональными коэффициентами разрешима в радикалах, то можно определить вспомогательное уравнение Q(у) = 0 степени п – 1, также с рациональными коэффициентами, так что каждый корень п это сумма п-ые корни корней Q. Эти п-корни были введены Жозеф-Луи Лагранж, и их продукты п обычно называют Резольвенты Лагранжа. Расчет Q и его корни могут быть использованы для решения п(Икс) = 0. Однако эти пкорни -й степени не могут быть вычислены независимо (это обеспечит п^п–1 корни вместо п). Таким образом, правильное решение должно выражать все эти п-корни по одному из них. Теория Галуа показывает, что это всегда теоретически возможно, даже если итоговая формула может оказаться слишком большой, чтобы ее можно было использовать.

Возможно, что некоторые из корней Q рациональны (как в первом примере этого раздела) или некоторые равны нулю. В этих случаях формула для корней намного проще, чем для разрешимого де Муавр квинтик

${ displaystyle x ^ {5} + 5ax ^ {3} + 5a ^ {2} x + b = 0 ,,}$

где вспомогательное уравнение имеет два нулевых корня и сводится, вычитая их, к уравнению квадратное уровненеие

${ displaystyle y ^ {2} + by-a ^ {5} = 0 ,,}$

так что пять корней квинтики де Муавра задаются

${ displaystyle x_ {k} = omega ^ {k} { sqrt [{5}] {y_ {i}}} - { frac {a} { omega ^ {k} { sqrt [{5} ] {y_ {i}}}}},}$

куда у_я - любой корень вспомогательного квадратного уравнения и ω любой из четырех примитивные корни 5-й степени из единства. Это можно легко обобщить для построения разрешимого септический и другие нечетные степени, не обязательно простые.

Другие решаемые квинтики

Существует бесконечно много решаемых квинтик в форме Бринга-Джеррарда, параметризованных в предыдущем разделе.

С точностью до масштабирования переменной существует ровно пять решаемых квинтик формы ${ displaystyle x ^ {5} + ax ^ {2} + b}$, которые^[5] (куда s - коэффициент масштабирования):

${ displaystyle x ^ {5} -2s ^ {3} x ^ {2} - { frac {s ^ {5}} {5}}}$

${ displaystyle x ^ {5} -100s ^ {3} x ^ {2} -1000s ^ {5}}$

${ displaystyle x ^ {5} -5s ^ {3} x ^ {2} -3s ^ {5}}$

${ displaystyle x ^ {5} -5s ^ {3} x ^ {2} + 15s ^ {5}}$

${ displaystyle x ^ {5} -25s ^ {3} x ^ {2} -300s ^ {5}}$

Пакстон Янг (1888) привел ряд примеров разрешимых квинтик:

${ displaystyle x ^ {5} -10x ^ {3} -20x ^ {2} -1505x-7412}$
${ displaystyle x ^ {5} + { frac {625} {4}} x + 3750}$
${ displaystyle x ^ {5} - { frac {22} {5}} x ^ {3} - { frac {11} {25}} x ^ {2} + { frac {462} {125} } x + { frac {979} {3125}}}$
${ displaystyle x ^ {5} + 20x ^ {3} + 20x ^ {2} + 30x + 10}$	${ Displaystyle ~ qquad ~}$ Корень: ${ displaystyle { sqrt [{5}] {2}} - { sqrt [{5}] {2}} ^ {2} + { sqrt [{5}] {2}} ^ {3} - { sqrt [{5}] {2}} ^ {4}}$
${ displaystyle x ^ {5} -20x ^ {3} + 250x-400}$
${ displaystyle x ^ {5} -5x ^ {3} + { frac {85} {8}} x - { frac {13} {2}}}$
${ displaystyle x ^ {5} + { frac {20} {17}} x + { frac {21} {17}}}$
${ displaystyle x ^ {5} - { frac {4} {13}} x + { frac {29} {65}}}$
${ displaystyle x ^ {5} + { frac {10} {13}} x + { frac {3} {13}}}$
${ displaystyle x ^ {5} +110 (5x ^ {3} + 60x ^ {2} + 800x + 8320)}$
${ displaystyle x ^ {5} -20x ^ {3} -80x ^ {2} -150x-656}$
${ displaystyle x ^ {5} -40x ^ {3} + 160x ^ {2} + 1000x-5888}$
${ displaystyle x ^ {5} -50x ^ {3} -600x ^ {2} -2000x-11200}$
${ displaystyle x ^ {5} +110 (5x ^ {3} + 20x ^ {2} -360x + 800)}$
${ displaystyle x ^ {5} -20x ^ {3} + 170x + 208}$

Можно построить бесконечную последовательность разрешимых квинтик, корни которой являются суммами п-й корни единства, с п = 10k +1 - простое число:

${ displaystyle x ^ {5} + x ^ {4} -4x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x + 1}$		Корни: ${ displaystyle 2 cos left ({ frac {2k pi} {11}} right)}$
${ displaystyle x ^ {5} + x ^ {4} -12x ^ {3} -21x ^ {2} + x + 5}$		Корень: ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {5} e ^ { frac {2i pi 6 ^ {k}} {31}}}$
${ displaystyle x ^ {5} + x ^ {4} -16x ^ {3} + 5x ^ {2} + 21x-9}$		Корень: ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {7} e ^ { frac {2i pi 3 ^ {k}} {41}}}$
${ displaystyle x ^ {5} + x ^ {4} -24x ^ {3} -17x ^ {2} + 41x-13}$	${ Displaystyle ~ qquad ~}$	Корень: ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {11} e ^ { frac {2i pi (21) ^ {k}} {61}}}$
${ displaystyle x ^ {5} + x ^ {4} -28x ^ {3} + 37x ^ {2} + 25x + 1}$		Корень: ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {13} e ^ { frac {2i pi (23) ^ {k}} {71}}}$

Также существуют два параметризованных семейства разрешимых квинтик: квинтика Кондо – Брумера,

${ displaystyle x ^ {5} + (a-3) x ^ {4} + (- a + b + 3) x ^ {3} + (a ^ {2} -a-1-2b) x ^ { 2} + bx + a = 0 ,}$

и семейство в зависимости от параметров ${ displaystyle a, l, m}$

${ displaystyle x ^ {5} -5p (2x ^ {3} + ax ^ {2} + bx) -pc = 0 ,}$

куда

${ displaystyle p = { frac {l ^ {2} (4m ^ {2} + a ^ {2}) - m ^ {2}} {4}}, qquad b = l (4m ^ {2} + a ^ {2}) - 5p-2m ^ {2}, qquad c = { frac {b (a + 4m) -p (a-4m) -a ^ {2} m} {2}}}$

Причина неснижаемости

Аналогично кубические уравнения существуют разрешимые квинтики с пятью действительными корнями, все решения которых в радикалах содержат корни комплексных чисел. Это казус несокрушимый для квинтики, которая обсуждается в Dummit.^{[6]:стр.17} В самом деле, если у неприводимой квинтики все корни действительны, никакой корень не может быть выражен только в терминах вещественных радикалов (как это верно для всех полиномиальных степеней, не являющихся степенями двойки).

Помимо радикалов

Около 1835 г. Джеррард продемонстрировали, что квинтики могут быть решены с помощью ультрарадикалы (также известен как Принесите радикалов ), единственный действительный корень т⁵ + т − а = 0 для реальных чисел а. В 1858 г. Чарльз Эрмит показали, что радикал Бринга можно охарактеризовать в терминах Якоби. тета-функции и связанные с ними эллиптические модульные функции, используя подход, аналогичный более знакомому подходу к решению кубические уравнения посредством тригонометрические функции. Примерно в то же время Леопольд Кронекер, с помощью теория групп, разработал более простой способ получения результата Эрмита, как и Франческо Бриоски. Потом, Феликс Кляйн придумал метод, связывающий симметрии икосаэдр, Теория Галуа, а также эллиптические модульные функции, представленные в решении Эрмита, дающие объяснение, почему они вообще должны появляться, и разработал свое собственное решение с точки зрения обобщенные гипергеометрические функции.^[7] Подобные явления происходят в степени 7 (септические уравнения ) и 11, как изучено Кляйном и обсуждено в Икосаэдрическая симметрия § Связанные геометрии.

Решение с радикалами Bring

А Трансформация Чирнхауса, который может быть вычислен путем решения уравнение четвертой степени, сводит общее уравнение квинтики вида

${ displaystyle x ^ {5} + a_ {4} x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = 0 ,}$

к Нормальная форма Бринга – Джеррарда Икс⁵ − Икс + т = 0.

Корни этого уравнения не могут быть выражены радикалами. Однако в 1858 г. Чарльз Эрмит опубликовал первое известное решение этого уравнения в терминах эллиптические функции.^[8]Примерно в то же время Франческо Бриоски^[9] и Леопольд Кронекер^[10]пришли к эквивалентным решениям.

Видеть Принесите радикальный для получения подробной информации об этих и некоторых связанных с ними решениях.

Приложение к небесной механике

Решение местоположения Лагранжевые точки астрономической орбиты, на которой массами обоих объектов нельзя пренебречь, необходимо решить квинтику.

Точнее, расположение L₂ и L₁ являются решениями следующих уравнений, в которых гравитационные силы двух масс на третью (например, Солнца и Земли на спутниках, таких как Гайя в L₂ и SOHO в L₁) обеспечивают центростремительную силу спутника, необходимую для нахождения на синхронной орбите с Землей вокруг Солнца:

${ displaystyle { frac {GmM_ {S}} {(R pm r) ^ {2}}} pm { frac {GmM_ {E}} {r ^ {2}}} = m omega ^ { 2} (R pm r)}$

Знак ± соответствует L₂ и L₁, соответственно; грамм это гравитационная постоянная, ω в угловая скорость, р расстояние от спутника до Земли, р расстояние от Солнца до Земли (то есть большая полуось орбиты Земли), и м, M_E, и M_S - соответствующие массы спутника, земной шар, и солнце.

Использование третьего закона Кеплера ${ displaystyle omega ^ {2} = { frac {4 pi ^ {2}} {P ^ {2}}} = { frac {G (M_ {S} + M_ {E})} {R ^ {3}}}}$ и перестановка всех терминов дает квинтику

${ displaystyle ar ^ {5} + br ^ {4} + cr ^ {3} + dr ^ {2} + er + f = 0}$

с ${ displaystyle a = pm (M_ {S} + M_ {E})}$ , ${ displaystyle b = + (M_ {S} + M_ {E}) 3R}$ , ${ Displaystyle c = pm (M_ {S} + M_ {E}) 3R ^ {2}}$ , ${ displaystyle d = + (M_ {E} mp M_ {E}) R ^ {3}}$ (таким образом d = 0 для L₂), ${ displaystyle e = pm M_ {E} 2R ^ {4}}$ , ${ displaystyle f = mp M_ {E} R ^ {5}}$ .

Решение этих двух квинтиков дает р = 1,501 х 10⁹ м за L₂ и р = 1,491 х 10⁹ м за L₁. В Лагранжевые точки Солнце – Земля L₂ и L₁ обычно дается как 1,5 миллиона км от Земли.

Смотрите также

• Шестическое уравнение
• Септическая функция
• Теория уравнений

Примечания

Рекомендации

• Шарль Эрмит, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Uvres de Charles Hermite, 2: 5–21, Готье-Виллар, 1908.
• Феликс Кляйн, Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени, пер. Джордж Гэвин Моррис, Trübner & Co., 1888 г. ISBN  0-486-49528-0.
• Леопольд Кронекер, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 46:1:1150–1152 1858.
• Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс, "Характеристика разрешимых квинтик" Икс⁵ + топор + б, Американский математический ежемесячный журнал, 101:986–992 (1994).
• Ян Стюарт, Теория Галуа 2-е издание, Чепмен и Холл, 1989. ISBN  0-412-34550-1. Обсуждает теорию Галуа в целом, включая доказательство неразрешимости общей квинтики.
• Йорг Беверсдорф, Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива, Американское математическое общество, 2006 г. ISBN  0-8218-3817-2. Глава 8 (Решение уравнений пятой степени на Wayback Machine (заархивировано 31 марта 2010 г.)) приводится описание решения решаемых квинтик. Икс⁵ + сх + d.
• Виктор С. Адамчик и Дэвид Дж. Джеффри, «Полиномиальные преобразования Чирнхауса, Бринга и Джеррарда», Бюллетень ACM SIGSAM, Vol. 37, № 3, сентябрь 2003 г., стр. 90–94.
• Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус, «Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения», Бюллетень ACM SIGSAM, Vol. 37, № 1, март 2003 г., стр. 1–3.
• Дэниел Лазар, «Решение квинтики в радикалах», в Олав Арнфинн Лаудаль, Рагни Пьене, Наследие Нильса Хенрика Абеля, стр. 207–225, Берлин, 2004 г. ISBN  3-540-43826-2, доступны на В архиве 6 января 2005 г. Wayback Machine
• Тот, Габор (2002), Конечные группы Мебиуса, минимальные погружения сфер и модули

внешняя ссылка

• Mathworld - Квинтическое уравнение - подробнее о методах решения Quintics.
• Решение решаемых квинтик - метод решения решаемых квинтик Дэвида С. Даммита.
• Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения - недавний английский перевод статьи Чирнхауза 1683 года.