Квантовое стохастическое исчисление - Quantum stochastic calculus

Квантовое стохастическое исчисление является обобщением стохастическое исчисление к некоммерческий переменные.^[1] Инструменты, предоставляемые квантовым стохастическим исчислением, очень полезны для моделирования случайной эволюции систем, подвергающихся измерение, как в квантовых траекториях.^[2]:148 Так же, как Основное уравнение Линдблада дает квантовое обобщение Уравнение Фоккера – Планка, квантовое стохастическое исчисление позволяет выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения (КСДУ), аналогичные классическим Уравнения Ланжевена.

В оставшейся части этой статьи стохастическое исчисление будет называться классическое стохастическое исчисление, чтобы четко отличить его от квантового стохастического исчисления.

Тепловые ванны

Важным физическим сценарием, в котором необходимо квантовое стохастическое исчисление, является случай системы, взаимодействующей с тепловая ванна. Во многих случаях целесообразно моделировать тепловую баню как сборку гармонические осцилляторы. Один из типов взаимодействия системы и ванны можно смоделировать (после канонического преобразования) следующим образом: Гамильтониан:^{[3]:42, 45}

${ displaystyle H = H _ { mathrm {sys}} ( mathbf {Z}) + { frac {1} {2}} sum _ {n} left ((p_ {n} - kappa _ { n} X) ^ {2} + omega _ {n} ^ {2} q_ {n} ^ {2} right) ,,}$

куда ${ displaystyle H _ { mathrm {sys}}}$ гамильтониан системы, ${ displaystyle mathbf {Z}}$ - вектор, содержащий системные переменные, соответствующие конечному числу степеней свободы, ${ displaystyle n}$ индекс для различных режимов ванны, ${ displaystyle omega _ {n}}$ частота конкретной моды, ${ displaystyle p_ {n}}$ и ${ displaystyle q_ {n}}$ операторы ванны для определенного режима, ${ displaystyle X}$ является системным оператором, а ${ displaystyle kappa _ {n}}$ количественно определяет связь между системой и конкретным режимом ванны.

В этом сценарии уравнение движения для произвольного системного оператора ${ displaystyle Y}$ называется квантовое уравнение Ланжевена и может быть записано как:^[3]:46–47

куда ${ Displaystyle [ cdot, cdot]}$ и ${ Displaystyle { cdot, cdot }}$ обозначить коммутатор и антикоммутатор (соответственно) функция памяти ${ displaystyle f}$ определяется как:

${ Displaystyle е (т) эквив сумма _ {п} каппа _ {п} ^ {2} соз ( омега _ {п} т) ,,}$

и оператор зависящего от времени шума ${ Displaystyle xi}$ определяется как:

${ displaystyle xi (t) Equiv i sum _ {n} kappa _ {n} { sqrt { frac { hbar omega _ {n}} {2}}} left (-a_ { n} (t_ {0}) e ^ {- i omega _ {n} (t-t_ {0})} + a_ {n} ^ { dagger} (t_ {0}) e ^ {i omega _ {n} (t-t_ {0})} right) ,,}$

где оператор аннигиляции ванны ${ displaystyle a_ {n}}$ определяется как:

${ displaystyle a_ {n} Equiv { frac { omega _ {n} q_ {n} + ip_ {n}} { sqrt {2 hbar omega _ {n}}}} ,.}$

Часто это уравнение является более общим, чем необходимо, и для его упрощения делаются дополнительные приближения.

Формализм белого шума

Для многих целей удобно делать приблизительные оценки природы термостата, чтобы получить белый шум формализм. В таком случае взаимодействие можно моделировать гамильтонианом ${ displaystyle H = H _ { mathrm {sys}} + H_ {B} + H _ { mathrm {int}}}$ куда:^[4]:3762

${ displaystyle H_ {B} = hbar int _ {- infty} ^ { infty} mathrm {d} omega , omega b ^ { dagger} ( omega) b ( omega) ,,}$

и

${ displaystyle H _ { mathrm {int}} = я hbar int _ {- infty} ^ { infty} mathrm {d} omega , kappa ( omega) left (b ^ { кинжал} ( omega) cc ^ { dagger} b ( omega) right) ,,}$

куда ${ Displaystyle б ( омега)}$ находятся операторы аннигиляции для ванны с коммутационным соотношением ${ Displaystyle [б ( омега), Ь ^ { кинжал} ( омега ^ { прайм})] = дельта ( омега - омега ^ { прайм})}$, ${ displaystyle c}$ является оператором системы, ${ Displaystyle каппа ( омега)}$ определяет силу связи режимов ванны с системой, и ${ displaystyle H _ { mathrm {sys}}}$ описывает эволюцию свободной системы.^[3]:148 Эта модель использует приближение вращающейся волны и расширяет нижний предел ${ displaystyle omega}$ к ${ displaystyle - infty}$ чтобы допустить математически простой формализм белого шума. Сила связи также обычно упрощается до константы в том, что иногда называют первым марковским приближением:^[4]:3763

${ displaystyle kappa ( omega) = { sqrt { frac { gamma} {2 pi}}} ,.}$

Системы, связанные с ванной из гармонических осцилляторов, можно рассматривать как управляемые шумом на входе и излучающие шум на выходе.^[3]:43 Оператор входного шума во время ${ displaystyle t}$ определяется:^{[3]:150[4]:3763}

${ displaystyle b _ { mathrm {in}} (t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} mathrm {d} omega , e ^ {- i omega (t-t_ {0})} b_ {0} ( omega) ,,}$

куда ${ displaystyle b_ {0} ( omega) = left.b ( omega) right vert _ {t = t_ {0}}}$, поскольку этот оператор выражается в Картинка Гейзенберга. Выполнение коммутационного отношения ${ displaystyle [б _ { mathrm {in}} (т), b _ { mathrm {in}} ^ { dagger} (t ^ { prime})] = delta (t-t ^ { prime})}$ позволяет модели иметь строгое соответствие с Марковский главное уравнение.^[2]:142

В описанной выше ситуации белого шума квантовое уравнение Ланжевена для произвольного системного оператора ${ displaystyle a}$ принимает более простую форму:^[4]:3763

Для случая, наиболее близкого к классическому белому шуму, вход в систему описывается оператор плотности давая следующие ожидаемое значение:^[3]:154

${ displaystyle langle b _ { mathrm {in}} ^ { dagger} (t) b _ { mathrm {in}} (t ^ { prime}) rangle _ { rho _ { mathrm {in} }} = N delta (tt ^ { prime}) ,.}$

(WN2)

Квантовый винеровский процесс

Чтобы определить квантовое стохастическое интегрирование, важно определить квантовое Винеровский процесс:^{[3]:155[4]:3765}

${ displaystyle B (t, t_ {0}) = int _ {t_ {0}} ^ {t} b _ { mathrm {in}} (t ^ { prime}) mathrm {d} t ^ { основной },.}$

Это определение дает квантовому винеровскому процессу коммутационное соотношение ${ Displaystyle [В (т, т_ {0}), В ^ { кинжал} (т, т_ {0})] = т-т_ {0}}$. Свойство операторов аннигиляции ванны в (WN2) означает, что квантовый винеровский процесс имеет математическое ожидание:

${ displaystyle langle B ^ { dagger} (t, t_ {0}) B (t, t_ {0}) rangle _ { rho (t, t_ {0})} = N (t-t_ { 0}) ,.}$

Квантовые винеровские процессы также задаются так, что их распределения квазивероятностей находятся Гауссовский путем определения оператора плотности:

${ displaystyle rho (t, t_ {0}) = (1-e ^ {- kappa}) exp left [- { frac { kappa B ^ { dagger} (t, t_ {0}) ) B (t, t_ {0})} {t-t_ {0}}} right] ,,}$

куда ${ Displaystyle N = 1 / (е ^ { каппа} -1)}$.^[4]:3765

Квантовое стохастическое интегрирование

Стохастическая эволюция системных операторов также может быть определена в терминах стохастического интегрирования данных уравнений.

Квантовый интеграл Ито

Квантовый Ито интегральный системного оператора ${ displaystyle g (t)}$ дан кем-то:^[3]:155

${ Displaystyle ( mathbf {I}) int _ {t_ {0}} ^ {t} g (t ^ { prime}) mathrm {d} B (t ^ { prime}) = lim _ {n to infty} sum _ {i = 1} ^ {n} g (t_ {i}) left (B (t_ {i + 1}, t_ {0}) - B (t_ {i}) , t_ {0}) right) ,,}$

где жирный (я), предшествующий интегралу, означает Ито. Одна из характеристик такого определения интеграла заключается в том, что приращения ${ displaystyle mathrm {d} B}$ и ${ displaystyle mathrm {d} B ^ { dagger}}$ поехать с системным оператором.

Квантовое стохастическое дифференциальное уравнение Ито

Чтобы определить Ито QSDE, надо кое-что знать о банной статистике.^[3]:159 В контексте формализма белого шума, описанного ранее, Ито QSDE можно определить как:^[3]:156

${ displaystyle ( mathbf {I}) , mathrm {d} a = - { frac {i} { hbar}} [a, H _ { mathrm {sys}}] mathrm {d} t + гамма left ((N + 1) { mathcal {D}} [c ^ { dagger}] a + N { mathcal {D}} [c] a right) mathrm {d} t - { sqrt { gamma}} left ([a, c ^ { dagger}] mathrm {d} B (t) - mathrm {d} B ^ { dagger} (t) [a, c] right ) ,,}$

где уравнение было упрощено с использованием Линдблад супероператор:^[2]:105

${ displaystyle { mathcal {D}} [A] a Equiv AaA ^ { dagger} - { frac {1} {2}} left (A ^ { dagger} Aa + aA ^ { dagger} A right) ,.}$

Это дифференциальное уравнение интерпретируется как определение системного оператора ${ displaystyle a}$ как квантовый интеграл Ито правой части и эквивалентен уравнению Ланжевена (WN1).^[4]:3765

Квантовый интеграл Стратоновича

Квантовый Интеграл Стратоновича системного оператора ${ displaystyle g (t)}$ дан кем-то:^[3]:157

${ Displaystyle ( mathbf {S}) int _ {t_ {0}} ^ {t} g (t ^ { prime}) mathrm {d} B (t ^ { prime}) = lim _ {n to infty} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {g (t_ {i}) + g (t_ {i + 1})} {2}} left (B ( t_ {i + 1}, t_ {0}) - B (t_ {i}, t_ {0}) right) ,,}$

где жирный (S) перед интегралом означает Стратоновича. В отличие от формулировки Ито, приращения интеграла Стратоновича не коммутируют с системным оператором, и можно показать, что:^[3]

${ displaystyle ( mathbf {S}) int _ {t_ {0}} ^ {t} g (t ^ { prime}) mathrm {d} B (t ^ { prime}) - ( mathbf {S}) int _ {t_ {0}} ^ {t} mathrm {d} B (t ^ { prime}) g (t ^ { prime}) = { frac { sqrt { gamma }} {2}} int _ {t_ {0}} ^ {t} mathrm {d} t ^ { prime} , [g (t ^ { prime}), c (t ^ { prime })] ,.}$

Квантовое стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича

Стратоновичи QSDE можно определить как:^[3]:158

${ displaystyle ( mathbf {S}) , mathrm {d} a = - { frac {i} { hbar}} [a, H _ { mathrm {sys}}] mathrm {d} t- { frac { gamma} {2}} left ([a, c ^ { dagger}] cc ^ { dagger} [a, c] right) mathrm {d} t - { sqrt { гамма}} left ([a, c ^ { dagger}] mathrm {d} B (t) - mathrm {d} B ^ { dagger} (t) [a, c] right) , .}$

Это дифференциальное уравнение интерпретируется как определение системного оператора ${ displaystyle a}$ как квантовый интеграл Стратоновича правой части и имеет ту же форму, что и уравнение Ланжевена (WN1).^{[4]:3766–3767}

Связь интегралов Ито и Стратоновича

Два определения квантовых стохастических интегралов связаны друг с другом следующим образом, если принять ванну с ${ displaystyle N}$ определяется как и раньше:^[3]

${ Displaystyle ( mathbf {S}) int _ {t_ {0}} ^ {t} g (t ^ { prime}) mathrm {d} B (t ^ { prime}) = ( mathbf {I}) int _ {t_ {0}} ^ {t} g (t ^ { prime}) mathrm {d} B (t ^ { prime}) + { frac {1} {2} } { sqrt { gamma}} N int _ {t_ {0}} ^ {t} mathrm {d} t ^ { prime} , [g (t ^ { prime}), c (t ^ { prime})] ,.}$

Правила исчисления

Как и в случае с классическим стохастическим исчислением, соответствующее правило произведения может быть получено для интегрирования Ито и Стратоновича соответственно:^{[3]:156, 159}

${ Displaystyle ( mathbf {I}) , mathrm {d} (ab) = a , mathrm {d} b + b , mathrm {d} a + mathrm {d} a , mathrm {d} b ,,}$

${ displaystyle ( mathbf {S}) , mathrm {d} (ab) = a , mathrm {d} b + mathrm {d} a , b ,.}$

Как и в случае классического стохастического исчисления, форма Стратоновича - это та форма, которая сохраняет обычное исчисление (которое в данном случае некоммутирующее). Особенностью квантового обобщения является необходимость определения интегрирования Ито и Стратоновича, чтобы доказать, что форма Стратоновича сохраняет правила некоммутирующего исчисления.^[3]:155

Квантовые траектории

Квантовые траектории обычно можно рассматривать как путь через Гильбертово пространство что состояние квантовой системы меняется во времени. В стохастической постановке эти траектории часто обусловленный по результатам измерений. Безусловная марковская эволюция квантовой системы (усредненная по всем возможным результатам измерений) задается уравнением Линдблада. Чтобы описать условную эволюцию в этих случаях, необходимо разгадывать уравнение Линдблада путем выбора последовательного QSDE. В случае, когда условное состояние системы всегда чистый, распутывание могло быть в форме стохастического Уравнение Шредингера (SSE). Если состояние может стать смешанным, тогда необходимо использовать стохастическое главное уравнение (SME).^[2]:148

Пример разгадки

График эволюции z-компоненты Вектор Блоха двухуровневого атома, связанного с электромагнитным полем, подвергающимся затуханию Осцилляции Раби. Верхний график показывает квантовую траекторию атома для измерений счета фотонов, выполненных в электромагнитном поле, средний график показывает то же самое для гомодинного обнаружения, а нижний график сравнивает предыдущие два варианта измерения (каждый усредненный по 32 траекториям) с безусловная эволюция, заданная главным уравнением.

Рассмотрим следующее основное уравнение Линдблада для системы, взаимодействующей с вакуумной ванной:^[2]:145

${ Displaystyle { точка { rho}} = { mathcal {D}} [c] rho -i [H _ { mathrm {sys}}, rho] ,.}$

Это описывает эволюцию состояния системы, усредненную по результатам любого конкретного измерения, которое может быть выполнено на ванне. Следующее МСП описывает эволюцию системы, обусловленную результатами непрерывного счет фотонов измерение выполняется на ванне:

${ Displaystyle mathrm {d} rho _ {I} (t) = left ( mathrm {d} N (t) { mathcal {G}} [c] - mathrm {d} t { mathcal {H}} [iH _ { mathrm {sys}} + { frac {1} {2}} c ^ { dagger} c] right) rho _ {I} (t) ,,}$

куда

${ displaystyle { begin {array} {rcl} { mathcal {G}} [r] rho & Equiv & { frac {r rho r ^ { dagger}} { operatorname {Tr} [r rho r ^ { dagger}]}} - rho { mathcal {H}} [r] rho & Equiv & r rho + rho r ^ { dagger} - operatorname {Tr} [ r rho + rho r ^ { dagger}] rho end {array}}}$

являются нелинейными супероператорами и ${ Displaystyle N (т)}$ это фотоотчет, показывающий, сколько фотонов было обнаружено за один раз ${ displaystyle t}$ и дает следующую вероятность прыжка:^{[2]:152, 155}

${ displaystyle operatorname {E} [ mathrm {d} N (t)] = mathrm {d} t operatorname {Tr} [c ^ { dagger} c rho _ {I} (t)] ,,}$

куда ${ Displaystyle OperatorName {E} [ cdot]}$ обозначает ожидаемое значение. Другой тип измерения, который можно провести на ванне, - это гомодинное обнаружение, что приводит к квантовым траекториям, заданным следующими МСП:

${ Displaystyle mathrm {d} rho _ {J} (t) = - я [H _ { mathrm {sys}}, rho _ {J} (t)] mathrm {d} t + mathrm {d } t { mathcal {D}} [c] rho _ {J} (t) + mathrm {d} W (t) { mathcal {H}} [c] rho _ {J} (t) ,,}$

куда ${ Displaystyle mathrm {d} W (т)}$ является приращением Винера, удовлетворяющим:^[2]:161

${ displaystyle { begin {array} {rcl} mathrm {d} W (t) ^ {2} & = & mathrm {d} t operatorname {E} [ mathrm {d} W (t )] & = & 0 ,. End {array}}}$

Хотя эти двое МСПОни выглядят совершенно по-разному, расчет ожидаемой эволюции показывает, что оба они действительно являются разгадками одного и того же главного уравнения Линдлада:

${ displaystyle operatorname {E} [ mathrm {d} rho _ {I} (t)] = operatorname {E} [ mathrm {d} rho _ {J} (t)] = { dot { rho}} mathrm {d} t ,.}$

Вычислительные соображения

Одним из важных приложений квантовых траекторий является сокращение вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования главного уравнения. Для гильбертова пространства размерности d, количество действительных чисел, необходимых для хранения матрицы плотности, порядка d², а время, необходимое для вычисления эволюции основного уравнения, порядка d⁴. Сохранение вектора состояния для SSE, с другой стороны, требуется только количество реальных номеров заказа d, а время вычисления эволюции траектории только порядка d². Затем эволюция основного уравнения может быть аппроксимирована усреднением по множеству отдельных траекторий, смоделированных с помощью SSE, метод, который иногда называют Метод волновой функции Монте-Карло.^[5] Хотя количество рассчитанных траекторий п должен быть очень большим, чтобы точно аппроксимировать основное уравнение, хорошие результаты могут быть получены для траекторий, намного меньших, чем d². Этот метод не только сокращает время вычислений, но также позволяет моделировать основные уравнения на машинах, у которых недостаточно памяти для хранения всей матрицы плотности.^[2]:153

Рекомендации