Q-гамма-функция - Q-gamma function

В q-аналог теория, ${displaystyle q}$ -гамма-функция, или же базовая гамма-функция, является обобщением обычных гамма-функция тесно связан с двойная гамма-функция. Он был представлен Джексон (1905). Это дается

{displaystyle Gamma _ {q} (x) = (1-q) ^ {1-x} prod _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1-q ^ {n + 1}} {1-q ^ {n + x}}} = (1-q) ^ {1-x}, {frac {(q; q) _ {infty}} {(q ^ {x}; q) _ {infty}}} }

когда ${displaystyle | q | <1}$ , и

{displaystyle Gamma _ {q} (x) = {frac {(q ^ {- 1}; q ^ {- 1}) _ {infty}} {(q ^ {- x}; q ^ {- 1}) _ {infty}}} (q-1) ^ {1-x} q ^ {inom {x} {2}}}

если ${displaystyle | q |> 1}$ . Здесь ${displaystyle (cdot; cdot) _ {infty}}$ это бесконечный символ q-Pochhammer. В ${displaystyle q}$ -гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению

{displaystyle Gamma _ {q} (x + 1) = {frac {1-q ^ {x}} {1-q}} Gamma _ {q} (x) = [x] _ {q} Gamma _ {q }(Икс)}

В дополнение ${displaystyle q}$ -гамма-функция удовлетворяет q-аналогу Теорема Бора – Моллерупа, который был найден Ричард Аски (Аски (1978) ).
Для неотрицательных целых чисел п,

{displaystyle Gamma _ {q} (n) = [n-1] _ {q}!}

куда ${displaystyle [cdot] _ {q}}$ это q-факториал функция. Таким образом ${displaystyle q}$ -гамма-функцию можно рассматривать как расширение q-факториальной функции на действительные числа.

Связь с обычной гамма-функцией выражается явно в пределе

{displaystyle lim _ {q o 1pm} Gamma _ {q} (x) = Gamma (x).}

Госпер дает простое доказательство этого предела. См. Приложение к (Эндрюс (1986 )).

Свойства трансформации

В ${displaystyle q}$ -гамма-функция удовлетворяет q-аналогу формулы умножения Гаусса (Гаспер и Рахман (2004) ):

{displaystyle Gamma _ {q} (nx) Gamma _ {r} (1 / n) Gamma _ {r} (2 / n) cdots Gamma _ {r} ((n-1) / n) = left ({frac {1-q ^ {n}} {1-q}} ight) ^ {nx-1} Gamma _ {r} (x) Gamma _ {r} (x + 1 / n) cdots Gamma _ {r} ( x + (n-1) / n), r = q ^ {n}.}

Интегральное представление

В ${displaystyle q}$ -гамма-функция имеет следующее интегральное представление (Исмаил (1981 )):

{displaystyle {frac {1} {Gamma _ {q} (z)}} = {frac {sin (pi z)} {pi}} int _ {0} ^ {infty} {frac {t ^ {- z} mathrm {d} t} {(- t (1-q); q) _ {infty}}}.}

Формула Стирлинга

Моак получил следующий q-аналог формулы Стирлинга (см. Моак (1984) ):

{displaystyle log Gamma _ {q} (x) sim (x-1/2) log [x] _ {q} + {frac {mathrm {Li} _ {2} (1-q ^ {x})} { log q}} + C_ {hat {q}} + {frac {1} {2}} H (q-1) log q + sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {B_ {2k}} {(2k)!}} Left ({frac {log {hat {q}}} {{hat {q}} ^ {x} -1}} ight) ^ {2k-1} {hat {q}} ^ {x} p_ {2k-3} ({hat {q}} ^ {x}), x o infty,}

{displaystyle {hat {q}} = left {{egin {align} qquad mathrm {if} & 0

{displaystyle C_ {q} = {frac {1} {2}} log (2pi) + {frac {1} {2}} log left ({frac {q-1} {log q}} ight) - {frac {1} {24}} log q + log sum _ {m = -infty} ^ {infty} left (r ^ {m (6m + 1)} - r ^ {(3m + 1) (2m + 1)}) ight),}

куда ${displaystyle r = exp (4pi ^ {2} / log q)}$ , ${displaystyle H}$ обозначает Ступенчатая функция Хевисайда, ${displaystyle B_ {k}}$ стоит за Число Бернулли, ${displaystyle mathrm {Li} _ {2} (z)}$ дилогарифм, а ${displaystyle p_ {k}}$ является многочленом степени ${displaystyle k}$ удовлетворение

{displaystyle p_ {k} (z) = z (1-z) p_ {k-1} (z) ^ {prime} (z) + (kz + 1) p_ {k-1} (z), p_ { 0} = p _ {- 1} = 1, k = 1,2, cdots.}

Формулы типа Раабе

Благодаря И. Мезё q-аналог Формула Раабе существует, по крайней мере, если мы используем q-гамма-функцию, когда ${displaystyle | q |> 1}$ . С этим ограничением

{displaystyle int _ {0} ^ {1} log Gamma _ {q} (x) dx = {frac {zeta (2)} {log q}} + log {sqrt {frac {q-1} {sqrt [{ 6}] {q}}}} + log (q ^ {- 1}; q ^ {- 1}) _ {infty} quad (q> 1).}

Эль Бахрауи рассмотрел дело ${displaystyle 0$ и доказал, что

{displaystyle int _ {0} ^ {1} log Gamma _ {q} (x) dx = {frac {1} {2}} log (1-q) - {frac {zeta (2)} {log q} } + log (q; q) _ {infty} quad (0

Особые ценности

Известны следующие особые значения.^[1]

{displaystyle Gamma _ {e ^ {- pi}} left ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 16} {sqrt {e ^ {pi} -1}} { sqrt [{4}] {1+ {sqrt {2}}}} {2 ^ {15/16} pi ^ {3/4}}}, гамма слева ({frac {1} {4}} ight) ,}

{displaystyle Gamma _ {e ^ {- 2pi}} left ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 8} {sqrt {e ^ {2pi} -1}}} {2 ^ {9/8} pi ^ {3/4}}}, гамма влево ({frac {1} {4}} ight),}

{displaystyle Gamma _ {e ^ {- 4pi}} left ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 4} {sqrt {e ^ {4pi} -1}}} {2 ^ {7/4} pi ^ {3/4}}}, гамма влево ({frac {1} {4}} ight),}

{displaystyle Gamma _ {e ^ {- 8pi}} left ({frac {1} {2}} ight) = {frac {e ^ {- 7pi / 2} {sqrt {e ^ {8pi} -1}}} {2 ^ {9/4} pi ^ {3/4} {sqrt {1+ {sqrt {2}}}}}}, гамма влево ({frac {1} {4}} ight).}

Это аналоги классической формулы ${displaystyle Gamma left ({frac {1} {2}} ight) = {sqrt {pi}}}$ .

Более того, следующие аналоги знакомого тождества ${displaystyle Гамма слева ({frac {1} {4}} ight) Гамма слева ({frac {3} {4}} ight) = {sqrt {2}} pi}$ верно:

{displaystyle Gamma _ {e ^ {- 2pi}} left ({frac {1} {4}} ight) Gamma _ {e ^ {- 2pi}} left ({frac {3} {4}} ight) = { frac {e ^ {- 29pi / 16} left (e ^ {2pi} -1ight) {sqrt [{4}] {1+ {sqrt {2}}}}} {2 ^ {33/16} pi ^ { 3/2}}}, гамма слева ({frac {1} {4}} ight) ^ {2},}

{displaystyle Gamma _ {e ^ {- 4pi}} left ({frac {1} {4}} ight) Gamma _ {e ^ {- 4pi}} left ({frac {3} {4}} ight) = { frac {e ^ {- 29pi / 8} left (e ^ {4pi} -1ight)} {2 ^ {23/8} pi ^ {3/2}}}, гамма слева ({frac {1} {4} } ight) ^ {2},}

{displaystyle Gamma _ {e ^ {- 8pi}} left ({frac {1} {4}} ight) Gamma _ {e ^ {- 8pi}} left ({frac {3} {4}} ight) = { frac {e ^ {- 29pi / 4} left (e ^ {8pi} -1ight)} {16pi ^ {3/2} {sqrt {1+ {sqrt {2}}}}}}, гамма слева ({frac {1} {4}} право) ^ {2}.}

Версия матрицы

Позволять ${displaystyle A}$ - комплексная квадратная матрица и Положительно определенная матрица. Тогда q-гамма-матричная функция может быть определена q-интегралом:^[2]

{displaystyle Gamma _ {q} (A): = int _ {0} ^ {frac {1} {1-q}} t ^ {AI} E_ {q} (- qt) mathrm {d} _ {q} t}

куда ${displaystyle E_ {q}}$ это q-экспонента функция.

Другие функции q-гаммы

О других функциях q-гаммы см. Yamasaki 2006.^[3]

Численное вычисление

Итерационный алгоритм для вычисления q-гамма-функции был предложен Габутти и Алласией.^[4]

дальнейшее чтение

Чжан, Жуймин (2007), "Об асимптотике q-гамма-функции », Журнал математического анализа и приложений, 339 (2): 1313–1321, arXiv:0705.2802, Bibcode:2008JMAA..339.1313Z, Дои:10.1016 / j.jmaa.2007.08.006
Чжан, Жуйминг (2010), "Об асимптотике Γ_q(z) как q приближается к 1 ", arXiv:1011.0720 [math.CA ]
Ismail, Mourad E.H .; Малдун, Мартин Э. (1994), "Неравенства и свойства монотонности для гамма и q-гамма-функции », в Захар, Р. В. М. (ред.), Приближение и вычисление - сборник в честь Уолтера Гаучи: Труды конференции Purdue, 2-5 декабря 1993 г., 119, Бостон: Birkhäuser Verlag, стр. 309–323, arXiv:1301.1749, Дои:10.1007/978-1-4684-7415-2_19, ISBN 978-1-4684-7415-2

Рекомендации

Джексон, Ф. Х. (1905), "Основная гамма-функция и эллиптические функции", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера, Королевское общество, 76 (508): 127–144, Bibcode:1905RSPSA..76..127J, Дои:10.1098 / RSPA.1905.0011, ISSN 0950-1207, JSTOR 92601
Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовый гипергеометрический ряд, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-83357-8, МИСТЕР 2128719
Исмаил, Мурад (1981), "Основные функции Бесселя и многочлены", Журнал SIAM по математическому анализу, 12 (3): 454–468, Дои:10.1137/0512038
Моак, Дэниел С. (1984), "Q-аналог формулы Стирлинга", Скалистые горы J. Math., 14 (2): 403–414, Дои:10.1216 / RMJ-1984-14-2-403
Мезо, Иштван (2012), "Формула q-Раабе и интеграл четвертой тета-функции Якоби", Журнал теории чисел, 133 (2): 692–704, Дои:10.1016 / j.jnt.2012.08.025
Эль Бакрауи, Мохамед (2017), "Краткие доказательства формулы q-Раабе и интегралов для тета-функций Якоби", Журнал теории чисел, 173 (2): 614–620, Дои:10.1016 / j.jnt.2016.09.028
Аски, Ричард (1978), «Функции q-гаммы и q-бета», Применимый анализ, 8 (2): 125–141, Дои:10.1080/00036817808839221
Эндрюс, Джордж Э. (1986), q-Series: их развитие и применение в анализе, теории чисел, комбинаторике, физике и компьютерной алгебре., Серия региональных конференций по математике, 66, Американское математическое общество

Примечания

^ Мезо, Иштван (2011), "Несколько специальных значений тета-функций Якоби", arXiv:1106.1042 [math.NT ]
^ Салем, Ахмед (июнь 2012 г.). "На q-гамма и q-бета-матричные функции ». Линейная и полилинейная алгебра. 60 (6): 683–696. Дои:10.1080/03081087.2011.627562.
^ Ямасаки, Ёсинори (декабрь 2006 г.). "На q-Аналоги множественных дзета-функций Барнса ». Токийский математический журнал. 29 (2): 413–427. arXiv:математика / 0412067. Дои:10.3836 / tjm / 1170348176. МИСТЕР 2284981. Zbl 1192.11060.
^ Габутти, Бруно; Алласия, Джампьетро (17 сентября 2008 г.). «Оценка q-гамма-функции и q-аналогов с помощью итерационных алгоритмов». Численные алгоритмы. 49 (1–4): 159–168. Bibcode:2008НуАлг..49..159Г. Дои:10.1007 / s11075-008-9196-5.

[1] Мезо, Иштван (2011), "Несколько специальных значений тета-функций Якоби", arXiv:1106.1042 [math.NT ]

[2] Салем, Ахмед (июнь 2012 г.). "На q-гамма и q-бета-матричные функции ». Линейная и полилинейная алгебра. 60 (6): 683–696. Дои:10.1080/03081087.2011.627562.

[3] Ямасаки, Ёсинори (декабрь 2006 г.). "На q-Аналоги множественных дзета-функций Барнса ». Токийский математический журнал. 29 (2): 413–427. arXiv:математика / 0412067. Дои:10.3836 / tjm / 1170348176. МИСТЕР 2284981. Zbl 1192.11060.

[4] Габутти, Бруно; Алласия, Джампьетро (17 сентября 2008 г.). «Оценка q-гамма-функции и q-аналогов с помощью итерационных алгоритмов». Численные алгоритмы. 49 (1–4): 159–168. Bibcode:2008НуАлг..49..159Г. Дои:10.1007 / s11075-008-9196-5.

[1]

[2]

[3]

[4]