Простая дзета-функция - Prime zeta function

В математика, то простая дзета-функция является аналогом Дзета-функция Римана, изученный Глейшер (1891). Это определяется как следующее бесконечная серия, которая сходится при ${ Displaystyle Re (s)> 1}$:

${ displaystyle P (s) = sum _ {p , in mathrm {, primes}} { frac {1} {p ^ {s}}} = { frac {1} {2 ^ { s}}} + { frac {1} {3 ^ {s}}} + { frac {1} {5 ^ {s}}} + { frac {1} {7 ^ {s}}} + { frac {1} {11 ^ {s}}} + cdots.}$

Характеристики

В Произведение Эйлера для дзета-функции Римана ζ(s) следует, что

${ displaystyle log zeta (s) = sum _ {n> 0} { frac {P (ns)} {n}}}$

который по Инверсия Мёбиуса дает

${ displaystyle P (s) = sum _ {n> 0} mu (n) { frac { log zeta (ns)} {n}}}$

Когда s идет к 1, у нас есть ${ Displaystyle P (s) sim log zeta (s) sim log left ({ frac {1} {s-1}} right)}$.Это используется в определении Плотность Дирихле.

Это дает продолжение п(s) к ${ Displaystyle Re (s)> 0}$, с бесконечным числом логарифмических особенностей в точках s куда нс это полюс (только нс = 1, когда п является бесквадратным числом, большим или равным 1), или нулем дзета-функции Римана ζ(.). Линия ${ Displaystyle Re (s) = 0}$ является естественной границей, так как особенности кластера вблизи всех точек этой прямой.

Если определить последовательность

${ displaystyle a_ {n} = prod _ {p ^ {k} mid n} { frac {1} {k}} = prod _ {p ^ {k} mid mid n} { frac {1} {k!}}}$

тогда

${ displaystyle P (s) = log sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

(Возведение в степень показывает, что это эквивалентно лемме 2.7 Ли.)

Простая дзета-функция связана с Постоянная Артина к

${ displaystyle ln C _ { mathrm {Artin}} = - sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {(L_ {n} -1) P (n)} {n}}}$

куда L_п это пth Число Лукаса.^[1]

Конкретные значения:

s	приблизительное значение P (s)	OEIS
1	${ displaystyle { tfrac {1} {2}} + { tfrac {1} {3}} + { tfrac {1} {5}} + { tfrac {1} {7}} + { tfrac {1} {11}} + cdots to infty.}$[2]
2	${ displaystyle 0 {.} 45224 { text {}} 74200 { text {}} 41065 { text {}} 49850 ldots}$	OEIS: A085548
3	${ displaystyle 0 {.} 17476 { text {}} 26392 { text {}} 99443 { text {}} 53642 ldots}$	OEIS: A085541
4	${ displaystyle 0 {.} 07699 { text {}} 31397 { text {}} 64246 { text {}} 84494 ldots}$	OEIS: A085964
5	${ displaystyle 0 {.} 03575 { text {}} 50174 { text {}} 83924 { text {}} 25713 ldots}$	OEIS: A085965
9	${ displaystyle 0 {.} 00200 { text {}} 44675 { text {}} 74962 { text {}} 45066 ldots}$	OEIS: A085969

Анализ

интеграл

Интеграл по простой дзета-функции обычно привязан к бесконечности, потому что полюс на ${ displaystyle s = 1}$ запрещает определение хорошей нижней границы для некоторого конечного целого числа без обсуждения сечений ветвей в комплексной плоскости:

${ displaystyle int _ {s} ^ { infty} P (t) , dt = sum _ {p} { frac {1} {p ^ {s} log p}}}$

Примечательные значения снова те, где суммы сходятся медленно:

s	приблизительное значение ${ Displaystyle сумма _ {p} 1 / (p ^ {s} log p)}$	OEIS
1	${ displaystyle 1.63661632 ldots}$	OEIS: A137245
2	${ displaystyle 0.50778218 ldots}$	OEIS: A221711
3	${ displaystyle 0.22120334 ldots}$
4	${ displaystyle 0.10266547 ldots}$

Производная

Первая производная

${ Displaystyle P '(s) Equiv { frac {d} {ds}} P (s) = - sum _ {p} { frac { log p} {p ^ {s}}}}$

Интересны значения, в которых суммы сходятся медленно:

s	приблизительное значение ${ Displaystyle P '(s)}$	OEIS
2	${ displaystyle -0.493091109 ldots}$	OEIS: A136271
3	${ displaystyle -0.150757555 ldots}$	OEIS: A303493
4	${ displaystyle -0.060607633 ldots}$	OEIS: A303494
5	${ displaystyle -0.026838601 ldots}$	OEIS: A303495

Обобщения

Почти простые дзета-функции

Поскольку дзета-функция Римана представляет собой сумму обратных степеней над целыми числами, а дзета-функция простого числа представляет собой сумму обратных степеней простых чисел, k-простые числа (целые числа, которые являются произведением ${ displaystyle k}$ необязательно различные простые числа) определяют своего рода промежуточные суммы:

${ Displaystyle P_ {k} (s) Equiv sum _ {n: Omega (n) = k} { frac {1} {n ^ {s}}}}$

куда ${ displaystyle Omega}$ общее количество главные факторы.

k	s	приблизительное значение ${ Displaystyle P_ {k} (s)}$	OEIS
2	2	${ displaystyle 0.14076043434 ldots}$	OEIS: A117543
2	3	${ displaystyle 0,02380603347 ldots}$
3	2	${ displaystyle 0,03851619298 ldots}$	OEIS: A131653
3	3	${ displaystyle 0,00304936208 ldots}$

Каждое целое число в знаменателе дзета-функции Римана ${ displaystyle zeta}$можно классифицировать по значению индекса ${ displaystyle k}$, который разлагает дзета-функцию Римана в бесконечную сумму ${ displaystyle P_ {k}}$:

${ displaystyle zeta (s) = 1 + sum _ {k = 1,2, ldots} P_ {k} (s)}$

Поскольку мы знаем, что Серия Дирихле (в некотором формальном параметре ты) удовлетворяет

${ Displaystyle P _ { Omega} (u, s): = sum _ {n geq 1} { frac {u ^ { Omega (n)}} {n ^ {s}}} = prod _ {p in mathbb {P}} left (1-up ^ {- s} right) ^ {- 1},}$

мы можем использовать формулы для симметричные полиномиальные варианты с производящей функцией правостороннего типа. А именно, мы имеем коэффициентное тождество, что ${ Displaystyle P_ {k} (s) = [u ^ {k}] P _ { Omega} (u, s) = h (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots)}$ когда последовательности соответствуют ${ displaystyle x_ {j}: = j ^ {- s} chi _ { mathbb {P}} (j)}$ куда ${ displaystyle chi _ { mathbb {P}}}$ обозначает характеристическую функцию простые числа. С помощью Личности Ньютона, мы имеем общую формулу для этих сумм:

${ Displaystyle P_ {n} (s) = sum _ {{k_ {1} + 2k_ {2} + cdots + nk_ {n} = n} на {k_ {1}, ldots, k_ {n } geq 0}} left [ prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {P (is) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}! cdot i ^ {k_ { i}}}} right] = - [z ^ {n}] log left (1- sum _ {j geq 1} { frac {P (js) z ^ {j}} {j} }верно).}$

Особые случаи включают следующие явные расширения:

${ Displaystyle { begin {align} P_ {1} (s) & = P (s) P_ {2} (s) & = { frac {1} {2}} left (P (s) ^ {2} + P (2s) right) P_ {3} (s) & = { frac {1} {6}} left (P (s) ^ {3} + 3P (s) P (2s) + 2P (3s) right) P_ {4} (s) & = { frac {1} {24}} left (P (s) ^ {4} + 6P (s) ^ { 2} P (2s) + 3P (2s) ^ {2} + 8P (s) P (3s) + 6P (4s) right). End {align}}}$

Простой по модулю дзета-функции

Построение суммы не по всем простым числам, а только по простым числам, которые находятся в одном классе по модулю, вводит дополнительные типы бесконечных рядов, которые являются редукцией L-функция Дирихле.

Смотрите также

• Расхождение суммы обратных простых чисел

Рекомендации

• Меррифилд, К. У. (1881). «Суммы серии обратных простых чисел и их степеней». Труды Королевского общества. 33: 4–10. Дои:10.1098 / rspl.1881.0063. JSTOR  113877.
• Фрёберг, Карл-Эрик (1968). «О простой дзета-функции». Nordisk Tidskr. Информационная обработка (BIT). 8 (3): 187–202. Дои:10.1007 / BF01933420. МИСТЕР  0236123.
• Глейшер, Дж. У. Л. (1891). «О суммах обратных степеней простых чисел». Кварта. J. Math. 25: 347–362.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Матар, Ричард Дж. (2008). «Двадцать цифр некоторых интегралов простой дзета-функции». arXiv:0811.4739.
• Ли, Цзи (2008). «Графы простых чисел и экспоненциальный состав видов». J. Comb. Теория А. 115: 1374–1401. arXiv:0705.0038. Дои:10.1016 / j.jcta.2008.02.008. МИСТЕР  2455584.
• Матар, Ричард Дж. (2010). "Таблица L-рядов Дирихле и простые дзета-функции по модулю малых модулей". arXiv:1008.2547.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Основная дзета-функция". MathWorld.