Идеальное кольцо - Perfect ring - Wikipedia

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Март 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В районе абстрактная алгебра известный как теория колец, а левое идеальное кольцо это тип звенеть в котором все осталось модули имеют проективные покрытия. Правый случай определяется аналогично, и условие не является симметричным слева и справа; то есть существуют кольца, идеально подходящие с одной стороны, но не с другой. Совершенные кольца были введены в (Бас 1960 ).

А полусовершенное кольцо кольцо, над которым каждый конечно порожденный левый модуль имеет проективное покрытие. Это свойство симметрично слева направо.

Идеальное кольцо

Определения

Следующие эквивалентные определения совершенного слева кольца р находятся в (Андерсон, Фуллер и 1992, стр. 315. ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAnderson, Fuller1992, _p.315 (помощь):

• Каждый левый р модуль имеет проективное покрытие.
• р/ J (р) является полупростой и J (р) является левый Т-нильпотентный (то есть для любой бесконечной последовательности элементов J (р) существует п так что продукт первого п равны нулю), где J (р) это Радикал Якобсона из р.
• (Теорема Басса P) р удовлетворяет состояние нисходящей цепочки о главных правых идеалах. (Нет никакой ошибки; это условие на верно главных идеалов эквивалентно тому, что кольцо оставили идеально.)
• Каждый плоский оставили р-модуль проективный.
• р/ J (р) полупроста и любое ненулевое левое р модуль содержит максимальный подмодуль.
• р не содержит бесконечного ортогонального множества идемпотенты, и каждое ненулевое право р модуль содержит минимальный подмодуль.

Примеры

• Право или лево Артинианские кольца, и полупервичные кольца известны как правые и левые совершенные.
• Ниже приведен пример (из-за Баса) местное кольцо который прав, но не идеален слева. Позволять F поле, и рассмотрим некоторое кольцо бесконечные матрицы над F.

Возьмем множество бесконечных матриц с элементами, индексированными ×, и у которых есть только конечное число ненулевых элементов, все они выше диагонали, и обозначим это множество через ${ displaystyle J}$. Также возьмем матрицу ${ Displaystyle I ,}$ со всеми единицами по диагонали и сформируем набор

${ Displaystyle R = {е cdot I + j mid f in F, j in J } ,}$

Можно показать, что р кольцо с единицей, Радикал Якобсона является J. более того р/J это поле, так что р местный, и р правильно, но не слева идеально. (Лам и 2001, стр. 345-346. ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLam2001, _p.345-346 (помощь)

Характеристики

Для левого идеального кольца р:

• Из эквивалентности выше, каждый левый р модуль имеет максимальный подмодуль и проективное покрытие, а плоское левое р модули совпадают с проективными левыми модулями.
• Аналог Критерий Бэра выполняется для проективных модулей.^{[нужна цитата ]}

Полусовершенное кольцо

Определение

Позволять р быть кольцом. потом р является полусовершенным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• р/ J (р) является полупростой и идемпотенты подъем по модулю J (р), где J (р) это Радикал Якобсона из р.
• р имеет полный ортогональный набор е₁, ..., е_п идемпотентов с каждым е_я R e_я а местное кольцо.
• Каждый просто лево право) р-модуль имеет проективное покрытие.
• Каждый конечно порожденный лево право) р-модуль имеет проективное покрытие.
• Категория конечно порожденных проективных ${ displaystyle R}$-модули есть Крулль-Шмидт.

Примеры

Примеры полусовершенных колец включают:

• Слева (справа) идеальные кольца.
• Местные кольца.
• Теорема Капланского о проективных модулях
• Лево право) Артинианские кольца.
• Конечномерный k-алгебры.

Характеристики

Поскольку кольцо р полусовершенно тогда и только тогда, когда каждое просто оставили р-модуль имеет проективное покрытие, каждое кольцо Эквивалент Мориты к полусовершенному кольцу также полусовершенно.

Рекомендации

• Андерсон, Фрэнк В. Фуллер; Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Springer, стр. 312–322, ISBN  0-387-97845-3
• Басс, Хайман (1960), "Конечная размерность и гомологическое обобщение полупервичных колец", Труды Американского математического общества, 95 (3): 466–488, Дои:10.2307/1993568, ISSN  0002-9947, JSTOR  1993568, МИСТЕР  0157984
• Лам, Т. Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, Дои:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN  0-387-95183-0, МИСТЕР  1838439