Параметрическая поверхность - Parametric surface

А параметрическая поверхность это поверхность в Евклидово пространство ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {3}}$ который определяется параметрическое уравнение с двумя параметрами ${ displaystyle { vec {r}}: { mathbb {R}} ^ {2} rightarrow { mathbb {R}} ^ {3}.}$ Параметрическое представление - это очень общий способ задания поверхности, а также неявное представление. Поверхности, фигурирующие в двух основных теоремах векторное исчисление, Теорема Стокса и теорема расходимости, часто даются в параметрической форме. Кривизна и длина дуги из кривые на поверхности, площадь поверхности, дифференциально-геометрические инварианты, такие как первый и второй основные формы, Гауссовский, иметь в виду, и главный все кривизны могут быть вычислены по заданной параметризации.

Примеры

Тор, созданный с помощью уравнений: Икс = г грех v; у = (R + r cos v) грех ты; z = (R + r cos v) cos ты.

Параметрическая поверхность, образующая трилистник, детали уравнения в прилагаемом исходном коде.

• Самый простой тип параметрических поверхностей - это графики функций двух переменных:

${ displaystyle z = f (x, y), quad { vec {r}} (x, y) = (x, y, f (x, y)).}$

• А рациональная поверхность - поверхность, допускающая параметризацию рациональная функция. Рациональная поверхность - это алгебраическая поверхность. Учитывая алгебраическую поверхность, обычно легче решить, является ли она рациональной, чем вычислить ее рациональную параметризацию, если она существует.
• Поверхности революции дают еще один важный класс поверхностей, которые можно легко параметризовать. Если график z = ж(Икс), а ≤ Икс ≤ б вращается вокруг z-оси, то результирующая поверхность имеет параметризацию

${ Displaystyle { vec {r}} (и, фи) = (и соз фи, и грех фи, е (и)), квад а leq и leq b, 0 leq фи <2 пи.}$

Он также может быть параметризован

${ displaystyle { vec {r}} (u, v) = left (u { frac {1-v ^ {2}} {1 + v ^ {2}}}, u { frac {2v}) {1 + v ^ {2}}}, f (u) right), quad a leq u leq b,}$

показывая, что если функция ж рационально, то поверхность рациональна.

• Прямой круговой цилиндр радиуса р о Икс-axis имеет следующее параметрическое представление:

${ Displaystyle { vec {r}} (х, фи) = (х, р соз фи, р грех фи).}$

• С использованием сферические координаты, Единица сфера может быть параметризовано

${ Displaystyle { vec {r}} ( тета, фи) = ( соз тета грех фи, грех тета грех фи, соз фи), квадро 0 лек тета <2 пи, 0 leq phi leq pi.}$

Эта параметризация нарушается на северном и южном полюсах, где азимутальный угол θ не определяется однозначно. Сфера - это рациональная поверхность.

Одна и та же поверхность допускает множество различных параметризаций. Например, координата z-плоскость можно параметризовать как

${ displaystyle { vec {r}} (u, v) = (au + bv, cu + dv, 0)}$

для любых констант а, б, c, d такой, что объявление − до н.э ≠ 0, т.е. матрица ${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$ является обратимый.

Локальная дифференциальная геометрия

Локальную форму параметрической поверхности можно проанализировать, рассматривая Расширение Тейлора функции, которая его параметризует. Длину дуги кривой на поверхности и площадь поверхности можно найти с помощью интеграция.

Обозначение

Пусть параметрическая поверхность задается уравнением

${ displaystyle { vec {r}} = { vec {r}} (u, v),}$

куда ${ displaystyle { vec {r}}}$ это вектор-функция параметров (ты, v) и параметры меняются в пределах определенной области D в параметрическом УФ-самолет. Первые частные производные по параметрам обычно обозначают ${ displaystyle { vec {r}} _ {u}: = { frac { partial { vec {r}}} { partial u}}}$ и ${ displaystyle { vec {r}} _ {v},}$ и аналогично для высших производных, ${ displaystyle { vec {r}} _ {uu}, { vec {r}} _ {uv}, { vec {r}} _ {vv}.}$

В векторное исчисление, параметры часто обозначают (s,т), а частные производные записываются с использованием ∂-обозначения:

${ displaystyle { frac { partial { vec {r}}} { partial s}}, { frac { partial { vec {r}}} { partial t}}, { frac { частичный ^ {2} { vec {r}}} { partial s ^ {2}}}, { frac { partial ^ {2} { vec {r}}} { partial s partial t} }, { frac { partial ^ {2} { vec {r}}} { partial t ^ {2}}}.}$

Касательная плоскость и вектор нормали

Параметризация обычный для заданных значений параметров, если векторы

${ displaystyle { vec {r}} _ {u}, { vec {r}} _ {v}}$

линейно независимы. В касательная плоскость в регулярной точке есть аффинная плоскость в р³ натянутая на эти векторы и проходящая через точку р(ты, v) на поверхности, определяемой параметрами. Любой касательный вектор можно однозначно разложить на линейная комбинация из ${ displaystyle { vec {r}} _ {u}}$ и ${ displaystyle { vec {r}} _ {v}.}$ В перекрестное произведение этих векторов является нормальный вектор к касательная плоскость. Разделив этот вектор на его длину, получим единицу нормальный вектор к параметризованной поверхности в регулярной точке:

${ displaystyle { vec {n}} = { frac {{ vec {r}} _ {u} times { vec {r}} _ {v}} { left | { vec {r} } _ {u} times { vec {r}} _ {v} right |}}.}$

В общем, есть два варианта установки нормальный вектор к поверхности в данной точке, но для регулярной параметризованной поверхности предыдущая формула последовательно выбирает одну из них и, таким образом, определяет ориентация поверхности. Некоторые дифференциально-геометрические инварианты поверхности в р³ определяются самой поверхностью и не зависят от ориентации, в то время как другие меняют знак, если ориентация меняется на противоположную.

Площадь поверхности

В площадь поверхности можно вычислить, интегрировав длину вектора нормали ${ displaystyle { vec {r}} _ {u} times { vec {r}} _ {v}}$ на поверхность над соответствующей областью D в параметрическом УФ самолет:

${ Displaystyle A (D) = iint _ {D} left | { vec {r}} _ {u} times { vec {r}} _ {v} right | dudv.}$

Хотя эта формула дает замкнутое выражение для площади поверхности, для всех поверхностей, кроме очень специальных, это приводит к сложному двойной интеграл, который обычно оценивается с помощью система компьютерной алгебры или приблизительно численно. К счастью, многие общие поверхности образуют исключения, и их области явно известны. Это верно для круговой цилиндр, сфера, конус, тор, и еще несколько поверхности вращения.

Это также можно выразить как поверхностный интеграл над скалярным полем 1:

${ displaystyle int _ {S} 1 , dS.}$

Первая фундаментальная форма

В первая фундаментальная форма это квадратичная форма

${ Displaystyle I = E , du ^ {2} +2 , F , du , dv + G , dv ^ {2}}$

на касательная плоскость к поверхности, которая используется для расчета расстояний и углов. Для параметризованной поверхности ${ displaystyle { vec {r}} = { vec {r}} (u, v),}$ его коэффициенты можно вычислить следующим образом:

${ displaystyle E = { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {u}, quad F = { vec {r}} _ {u} cdot { vec {r}} _ {v}, quad G = { vec {r}} _ {v} cdot { vec {r}} _ {v}.}$

Длина дуги параметризованных кривых на поверхности S, угол между кривыми на S, и площадь поверхности допускают выражения в терминах первой фундаментальной формы.

Если (ты(т), v(т)), а ≤ т ≤ б представляет собой параметризованную кривую на этой поверхности, тогда ее длина дуги может быть вычислена как интеграл:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { sqrt {E , u '(t) ^ {2} + 2F , u' (t) v '(t) + G , v' ( t) ^ {2}}} , dt.}$

Первую фундаментальную форму можно рассматривать как семейство положительно определенный симметричные билинейные формы на касательной плоскости в каждой точке поверхности, плавно зависящей от точки. Эта перспектива помогает вычислить угол между двумя кривыми на S пересекающиеся в данной точке. Этот угол равен углу между касательными векторами к кривым. Первая фундаментальная форма, оцениваемая на этой паре векторов, - это их скалярное произведение, а угол находится по стандартной формуле

${ displaystyle cos theta = { frac {{ vec {a}} cdot { vec {b}}} { left | { vec {a}} right || { vec {b} } |}}}$

выражая косинус угла через скалярное произведение.

Площадь поверхности может быть выражена в терминах первой фундаментальной формы следующим образом:

${ Displaystyle A (D) = iint _ {D} { sqrt {EG-F ^ {2}}} , du , dv.}$

К Личность Лагранжа, выражение под квадратным корнем в точности равно ${ displaystyle left | { vec {r}} _ {u} times { vec {r}} _ {v} right | ^ {2}}$, поэтому в регулярных точках он строго положителен.

Вторая фундаментальная форма

Вторая фундаментальная форма

${ displaystyle mathrm {II} = L , { text {d}} u ^ {2} + 2M , { text {d}} u , { text {d}} v + N , { text {d}} v ^ {2}}$

представляет собой квадратичную форму на касательной плоскости к поверхности, которая вместе с первой фундаментальной формой определяет кривизну кривых на поверхности. В частном случае, когда (ты, v) = (Икс, у), а касательная плоскость к поверхности в данной точке горизонтальна, вторая фундаментальная форма по существу является квадратичной частью Расширение Тейлора из z как функция Икс и у.

Для общей параметрической поверхности определение более сложное, но вторая основная форма зависит только от частные производные порядка один и два. Его коэффициенты определяются как проекции вторых частных производных ${ displaystyle { vec {r}}}$ на единичный вектор нормали ${ displaystyle { vec {n}}}$ определяется параметризацией:

${ Displaystyle L = { vec {r}} _ {uu} cdot { vec {n}}, quad M = { vec {r}} _ {uv} cdot { vec {n}} , quad N = { vec {r}} _ {vv} cdot { vec {n}}. quad}$

Подобно первой фундаментальной форме, вторую фундаментальную форму можно рассматривать как семейство симметричных билинейных форм на касательной плоскости в каждой точке поверхности, плавно зависящей от точки.

Кривизна

Первая и вторая основные формы поверхности определяют ее важную дифференциально-геометрическую форму. инварианты: the Гауссова кривизна, то средняя кривизна, а основные кривизны.

Главные кривизны - это инварианты пары, состоящей из второй и первой фундаментальных форм. Они корни κ₁, κ₂ квадратного уравнения

${ displaystyle det ( mathrm {II} - kappa mathrm {I}) = 0, quad det left | { begin {matrix} L- kappa E & M- kappa F M- каппа F & N- ​​ каппа G end {matrix}} right | = 0.}$

В Гауссова кривизна K = κ₁κ₂ и средняя кривизна ЧАС = (κ₁ + κ₂) / 2 можно вычислить следующим образом:

${ displaystyle K = {LN-M ^ {2} over EG-F ^ {2}}, quad H = {EN-2FM + GL over 2 (EG-F ^ {2})}.}$

С точностью до знака эти величины не зависят от используемой параметризации и, следовательно, образуют важные инструменты для анализа геометрии поверхности. Точнее, основные кривизны и средняя кривизна меняют знак, если ориентация поверхности меняется на противоположную, а гауссова кривизна полностью не зависит от параметризации.

Знак гауссовой кривизны в точке определяет форму поверхности вблизи этой точки: для K > 0 поверхность локально выпуклый и точка называется эллиптический, а для K <0 поверхность седловидная и точка называется гиперболический. Точки, в которых гауссова кривизна равна нулю, называются параболический. Как правило, параболические точки образуют кривую на поверхности, называемую параболическая линия. Первая фундаментальная форма - это положительно определенный, следовательно, его определитель НАПРИМЕР − F² везде положительный. Следовательно, знак K совпадает со знаком LN − M², определитель второго фундаментального.

Коэффициенты первая фундаментальная форма представленные выше могут быть организованы в симметричную матрицу:

${ displaystyle F_ {1} = { begin {bmatrix} E&F F&G end {bmatrix}}.}$

И то же самое для коэффициентов вторая основная форма, также представленные выше:

${ displaystyle F_ {2} = { begin {bmatrix} L&M M&N end {bmatrix}}.}$

Определение матрицы сейчас ${ displaystyle A = F_ {1} ^ {- 1} F_ {2}}$, главные кривизны κ₁ и κ₂ являются собственные значения из А.^[1]

Сейчас если v₁=(v₁₁,v₁₂) это собственный вектор из А соответствующая главной кривизне κ₁, единичный вектор в направлении ${ displaystyle { vec {t}} _ {1} = v_ {11} { vec {r}} _ {u} + v_ {12} { vec {r}} _ {v}}$ называется главным вектором, соответствующим главной кривизне κ₁.

Соответственно, если v₂=(v₂₁,v₂₂) это собственный вектор из А соответствующая главной кривизне κ₂, единичный вектор в направлении ${ displaystyle { vec {t}} _ {2} = v_ {21} { vec {r}} _ {u} + v_ {22} { vec {r}} _ {v}}$ называется главным вектором, соответствующим главной кривизне κ₂.

Смотрите также

• Сплайн (математика)
• Поверхность нормальная

Рекомендации

внешняя ссылка

• Java-апплеты демонстрируют параметризацию спиральной поверхности
• м-АРТ (3д) - Приложение для iPad / iPhone для создания и визуализации параметрических поверхностей.