PDIFF - PDIFF - Wikipedia

Сплайны кусочно-гладкие, следовательно, в PDIFF, но не глобально гладкие или кусочно-линейные, следовательно, не в DIFF или PL.

В геометрическая топология, PDIFF, за пiecewise разницаоправданный, это категория из кусочно -гладкий коллекторы и кусочно-гладкие карты между ними. Он правильно содержит DIFF (категория гладкие многообразия и гладкие функции между ними) и PL (категория кусочно-линейные многообразия и кусочно линейные карты между ними), и причина его определения состоит в том, чтобы позволить связать эти две категории. Кроме того, кусочные функции, такие как шлицы и многоугольные цепи распространены в математике, и PDIFF предоставляет категорию для их обсуждения.

Мотивация

PDIFF служит для связи DIFF и PL, и он эквивалентен PL.

PDIFF - это в основном технический момент: гладкие карты не являются кусочно линейными (кроме линейных), а кусочно линейные карты не являются гладкими (если они не являются глобально линейными) - пересечение линейные карты, а точнее аффинные карты (потому что не основаны) - поэтому они не могут быть связаны напрямую: они являются отдельными обобщениями понятия аффинного отображения.

Однако, хотя гладкое многообразие не является PL-многообразием, оно несет каноническую PL-структуру - однозначно триангулируемо; наоборот, не всякое PL-многообразие сглаживаемо. Для конкретного гладкого многообразия или гладкого отображения между гладкими многообразиями это можно показать, разбив многообразие на достаточно мелкие части, а затем линеаризуя многообразие или карту на каждой части: например, окружность на плоскости может быть аппроксимирована треугольник, а не 2-угольник, поскольку последний не может быть вложен линейно.

Это отношение между Diff и PL требует выбора, однако, и более естественно показано и понято путем включения обеих категорий в большую категорию, а затем показа, что включение PL является эквивалентностью: каждое гладкое многообразие и каждое многообразие PL является многообразие PDiff. Таким образом, переход от Diff к PDiff и от PL к PDiff естественен - ​​это просто включение. Отображение PL в PDiff, хотя и не является равенством - не всякая кусочно гладкая функция кусочно линейна - является эквивалентностью: можно вернуться назад, линеаризуя куски. Таким образом, для некоторых целей его можно инвертировать или рассматривать как изоморфизм, который дает отображение ${ displaystyle { text {Diff}} to { text {PDiff}} to { text {PL}}.}$ Все эти категории находятся внутри TOP, категории топологических многообразий и непрерывных отображений между ними.

Таким образом, PDiff является более общим, чем Diff, потому что он допускает части (углы), и в целом невозможно сгладить углы, в то время как PL не менее общий, чем PDiff, потому что можно линеаризовать части (точнее, может потребоваться разбить их на меньшие части, а затем линеаризовать, что разрешено в PDiff).

История

Что каждый гладкий (действительно, C¹) многообразие имеет уникальную PL-структуру, что было первоначально доказано в (Уайтхед 1940 ). Подробное экспозиционное доказательство дано в (Мункрес 1966 ). Результат является элементарным и довольно техническим для детального доказательства, поэтому в современных текстах он, как правило, лишь схематично представлен, как в кратком плане доказательства, приведенном в (Терстон 1997 ). Очень краткое описание дано в (Макмаллен 1997 ), а краткое, но подробное доказательство дано в (Лурье 2009 ).

Рекомендации