Оптическое уравнение - Optic equation

Целочисленные решения оптического уравнения 1/а + 1/б = 1/c за 1 ≤ а, б ≤ 99. Число в круге c. В файл SVG, наведите указатель мыши на кружок, чтобы увидеть его решение.

В теория чисел, то оптическое уравнение это уравнение, которое требует суммы взаимные двух положительных целые числа а и б равняться обратной величине третьего положительного целого числа c:^[1]

{ displaystyle { frac {1} {a}} + { frac {1} {b}} = { frac {1} {c}}.}

Умножая обе стороны на abc показывает, что оптическое уравнение эквивалентно Диофантово уравнение (а полиномиальное уравнение в нескольких целочисленных переменных).

Решение

Все решения в целых числах а, б, в даны в виде положительных целочисленных параметров м, н, к к^[1]

{ displaystyle a = km (m + n), quad b = kn (m + n), quad c = kmn}

куда м и п находятся совмещать.

Появления в геометрии

Скрещенные лестницы.

{ displaystyle { tfrac {1} {h}} = { tfrac {1} {A}} + { tfrac {1} {B}}.}

Оптическое уравнение, допускающее, но не требующее целочисленных решений, появляется в нескольких контекстах в геометрия.

В двухцентровый четырехугольник, то inradius р, окружной радиус р, а расстояние Икс между центром и центром окружности связаны соотношением Теорема Фусса в соответствии с

{ displaystyle { frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + { frac {1} {(R + x) ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2 }}},}

и расстояния стимулятор я из вершин А, Б, В, D связаны с внутренним радиусом согласно

{ displaystyle { frac {1} {IA ^ {2}}} + { frac {1} {IC ^ {2}}} = { frac {1} {IB ^ {2}}} + { frac {1} {ID ^ {2}}} = { frac {1} {r ^ {2}}}.}

в проблема скрещенных лестниц,^[2] две лестницы, закрепленные у низов вертикальных стен, пересекаются на высоте час и прислониться к противоположным стенам на высоте А и B. У нас есть ${ displaystyle { tfrac {1} {h}} = { tfrac {1} {A}} + { tfrac {1} {B}}.}$ Более того, формула продолжает действовать, если стены наклонены и все три измерения проводятся параллельно стенам.

Пусть P - точка на описанный круг из равносторонний треугольник ABC, на малая дуга AB. Позволять а быть расстоянием от п к А и б быть расстоянием от п к B. На линии, проходящей через п и дальняя вершина C, позволять c быть расстоянием от п в сторону треугольника AB. потом^[3]^{:п. 172} ${ displaystyle { tfrac {1} {a}} + { tfrac {1} {b}} = { tfrac {1} {c}}.}$

В трапеция, нарисуйте отрезок, параллельный двум параллельным сторонам, проходящий через точку пересечения диагоналей и имеющий концы на непараллельных сторонах. Тогда, если обозначить длины параллельных сторон как а и б и половину длины отрезка через диагональное пересечение как c, сумма обратных величин а и б равно обратной величине c.^[4]

Особый случай, когда целые числа, обратные значения которых принимаются, должны быть квадратные числа появляется двояко в контексте прямоугольные треугольники. Во-первых, сумма квадратов высот от катетов (эквивалентно квадратов самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты от гипотенузы. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми или нет; есть формула (см. Вот ), который генерирует все целочисленные случаи.^[5]^[6] Во-вторых, также в прямоугольном треугольнике сумма квадрата, обратного стороне одного из двух вписанных квадратов, и квадрата, обратного гипотенузы, равна квадрату, обратному стороне другого вписанного квадрата.

Стороны семиугольный треугольник, который делит свои вершины с регулярным семиугольник, удовлетворяют оптическому уравнению.

Другие выступления

Уравнение тонкой линзы

Расстояния в уравнении тонкой линзы

Для линз незначительной толщины и фокусного расстояния ж, расстояния от линзы до объекта, S₁, а от линзы к ее изображению, S₂, связаны формула тонкой линзы:

{ displaystyle { frac {1} {S_ {1}}} + { frac {1} {S_ {2}}} = { frac {1} {f}}}

.

Электротехника

Сравнение эффективного сопротивления, индуктивности и емкости двух резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, включенных последовательно и параллельно

Компоненты электрической цепи или электронной схемы могут быть соединены в так называемый последовательно или параллельно конфигурация. Например, общая сопротивление ценить р_т из двух резисторы с сопротивлениями р₁ и р₂ подключен в параллельно следует оптическому уравнению:

{ displaystyle { frac {1} {R_ {1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} = { frac {1} {R_ {t}}}}

.

Точно так же общая индуктивность L_т из двух индукторы с индуктивностями L₁ и L₂ подключен в параллельно дан кем-то:

{ displaystyle { frac {1} {L_ {1}}} + { frac {1} {L_ {2}}} = { frac {1} {L_ {t}}}}

и общая емкость C_т из двух конденсаторы с емкостями C₁ и C₂ подключен в серии как следует:

{ displaystyle { frac {1} {C_ {1}}} + { frac {1} {C_ {2}}} = { frac {1} {C_ {t}}}}

.

Складывание бумаги

Складывание прямоугольного листа бумаги втрое с помощью задачи о скрещенных лестницах

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить для складывания прямоугольной бумаги на три равные части. Одна сторона (изображенная здесь левая) частично сложена пополам и защемлена, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла с диагональю составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно загнуть вниз до пересечения.^[7]

Гармоническое среднее

В гармоническое среднее из а и б является ${ displaystyle { frac {2} {{ frac {1} {a}} + { frac {1} {b}}}}}$ или 2c. Другими словами, c составляет половину гармонического среднего значения а и б.

Связь с Великой теоремой Ферма

Последняя теорема Ферма утверждает, что сумма двух целых чисел, каждое из которых возведено в одну и ту же целочисленную степень п не может быть равным другому целому числу, возведенному в степень п если п > 2. Это означает, что никакие решения оптического уравнения не имеют всех трех целых чисел, равных совершенные силы с той же силой п > 2. Ибо если ${ displaystyle { tfrac {1} {x ^ {n}}} + { tfrac {1} {y ^ {n}}} = { tfrac {1} {z ^ {n}}},}$ затем умножая на ${ displaystyle (xyz) ^ {n}}$ даст ${ displaystyle (yz) ^ {n} + (xz) ^ {n} = (xy) ^ {n},}$ что невозможно по Последней теореме Ферма.