Сплюснутая сфероидальная волновая функция - Oblate spheroidal wave function

В прикладной математике сплюснутые сфероидальные волновые функции (например, вытянутые сфероидальные волновые функции и другие связанные функции^[1]) участвуют в решении Уравнение Гельмгольца в сжатые сфероидальные координаты. Решая это уравнение,${ Displaystyle Delta Phi + k ^ {2} Phi = 0}$, методом разделения переменных, ${ Displaystyle ( хи, эта, фи)}$, с:

${ Displaystyle х = (д / 2) хи эта,}$

${ Displaystyle Y = (d / 2) { sqrt {( xi ^ {2} +1) (1- eta ^ {2})}} cos phi,}$

${ Displaystyle Z = (d / 2) { sqrt {( xi ^ {2} +1) (1- eta ^ {2})}} sin phi,}$

${ displaystyle xi geq 0 { text {and}} | eta | leq 1.}$

решение ${ Displaystyle Phi ( xi, eta, phi)}$ можно записать как произведение радиальной сфероидальной волновой функции ${ Displaystyle R_ {mn} (- ic, я xi)}$ и угловая сфероидальная волновая функция ${ Displaystyle S_ {mn} (- ic, eta)}$ к ${ Displaystyle е ^ {им фи}}$. Здесь ${ displaystyle c = kd / 2}$, с ${ displaystyle d}$ являющееся межфокусным расстоянием эллиптического поперечного сечения сплюснутый сфероид.

Радиальная волновая функция ${ Displaystyle R_ {mn} (- ic, я xi)}$ удовлетворяет линейному обыкновенное дифференциальное уравнение:

${ Displaystyle ( xi ^ {2} +1) { frac {d ^ {2} R_ {mn} (- ic, i xi)} {d xi ^ {2}}} + 2 xi { frac {dR_ {mn} (- ic, i xi)} {d xi}} - left ( lambda _ {mn} (c) -c ^ {2} xi ^ {2} - { frac {m ^ {2}} { xi ^ {2} +1}} right) {R_ {mn} (- ic, i xi)} = 0}$.

Угловая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

${ displaystyle (1- eta ^ {2}) { frac {d ^ {2} S_ {mn} (- ic, eta)} {d eta ^ {2}}} - 2 eta { frac {dS_ {mn} (- ic, eta)} {d eta}} + left ( lambda _ {mn} (c) + c ^ {2} eta ^ {2} - { frac {m ^ {2}} {1- eta ^ {2}}} right) {S_ {mn} (- ic, eta)} = 0}$.

Это то же дифференциальное уравнение, что и в случае радиальной волновой функции. Однако диапазон радиальной координаты ${ displaystyle xi}$ отличается от угловой координаты ${ displaystyle eta}$.

Собственное значение ${ displaystyle lambda _ {mn} (- ic)}$ этого дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля фиксируется требованием, чтобы ${ displaystyle {S_ {mn} (- ic, eta)}}$ должен быть конечным для ${ displaystyle | eta | = 1}$.

За ${ displaystyle c = 0}$ эти два дифференциальных уравнения сводятся к уравнениям, которым удовлетворяет ассоциированные полиномы Лежандра. За ${ displaystyle c neq 0}$, угловые сфероидальные волновые функции могут быть разложены в ряд функций Лежандра. Мюллер рассмотрел разложения сфероидальных волновых функций по функциям Лежандра.^[2].

Приведенные выше дифференциальные уравнения для сжатых радиальных и угловых волновых функций могут быть получены из соответствующих уравнений для вытянутые сфероидальные волновые функции путем замены ${ displaystyle -ic}$ за ${ displaystyle c}$ и ${ Displaystyle я xi}$ за ${ displaystyle xi}$. Обозначение для сжатых сфероидальных функций отражает эту взаимосвязь.

Существуют разные схемы нормализации сфероидальных функций. Таблицу различных схем можно найти у Абрамовица и Стегуна.^[3] Абрамовиц и Стегун (и настоящая статья) следуют обозначениям Фламмера.^[4]

Первоначально сфероидальные волновые функции были введены К. Нивеном,^[5] которые приводят к уравнению Гельмгольца в сфероидальных координатах. Монографии, связывающие воедино многие аспекты теории сфероидальных волновых функций, были написаны Струттом,^[6] Страттон и др.,^[7] Мейкснер и Шафке,^[8] и Фламмер.^[4]

Фламмер^[4] предоставил подробное обсуждение расчета собственных значений, угловых волновых функций и радиальных волновых функций как для сжатого, так и для вытянутого случая. Компьютерные программы для этой цели были разработаны многими, в том числе Van Buren et al.,^[9] Кинг и Ван Бюрен,^[10] Baier et al.,^[11] Чжан и Цзинь,^[12] и Томпсон.^[13] Ван Бюрен недавно разработал новые методы расчета сфероидальных волновых функций, которые расширяют возможности получения числовых значений до чрезвычайно широкого диапазона параметров. Эти результаты основаны на более ранней работе над вытянутыми сфероидальными волновыми функциями.^[14][15] Исходный код Fortran, сочетающий новые результаты с традиционными методами, доступен по адресу http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.

Таблицы численных значений сплюснутых сфероидальных волновых функций приведены в Flammer,^[4] Ханиш и др.,^[16][17][18] и Van Buren et al.^[19]

Асимптотические разложения угловых сжатых сфероидальных волновых функций для больших значений ${ displaystyle c}$ были выведены Мюллером.^[20], также аналогично для вытянутых сфероидальных волновых функций.^[21].

Электронная библиотека математических функций http://dlmf.nist.gov предоставленный NIST, является отличным ресурсом для сфероидальных волновых функций.

Рекомендации

внешняя ссылка

• MathWorld Сфероидальные волновые функции
• MathWorld Вытянутая сфероидальная волновая функция
• MathWorld Сплюснутая сфероидальная волновая функция