Теорема Нивенса - Nivens theorem - Wikipedia

В математика, Теорема Нивена, названный в честь Иван Нивен, утверждает, что единственный рациональный ценности θ в интервале 0 ° ≤θ ≤ 90 °, для которого синус из θ градусы тоже рациональное число:[1]

В радианы, потребовалось бы, чтобы 0 ≤Икс ≤ π/ 2, что Икс/π быть рациональным, и этот грехИкс быть рациональным. Отсюда вывод, что единственными такими значениями являются sin 0 = 0, sinπ/ 6 = 1/2, и грехπ/2 = 1.

Теорема появляется как следствие 3.12 в книге Нивена о иррациональные числа.[2]

Теорема распространяется на другие тригонометрические функции также.[2] Для рациональных значений θ единственными рациональными значениями синуса или косинуса являются 0, ± 1/2 и ± 1; единственные рациональные значения секанса или косеканса - ± 1 и ± 2; и единственными рациональными значениями тангенса или котангенса являются 0 и ± 1.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Шаумбергер, Норман (1974). "Классная теорема о тригонометрических иррациональностях". Двухлетний математический журнал колледжа. 5 (1): 73–76. Дои:10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
  2. ^ а б Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа. В Математические монографии Каруса. Математическая ассоциация Америки. п.41. МИСТЕР  0080123.
  3. ^ Доказательство для косинусного случая выглядит как лемма 12 в Bennett, Curtis D .; Glass, A.MW .; Секели, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». Американский математический ежемесячный журнал. 111 (4): 322–329. Дои:10.2307/4145241. JSTOR  4145241. МИСТЕР  2057186.

дальнейшее чтение

  • Олмстед, Дж. М. Х. (1945). «Рациональные значения тригонометрических функций». Американский математический ежемесячник. 52 (9): 507–508. JSTOR  2304540.
  • Лемер, Дерик Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». Американский математический ежемесячник. 40 (3): 165–166. Дои:10.2307/2301023. JSTOR  2301023.
  • Янель, Йорг (2010). «Когда (со) синус рационального угла равен рациональному числу?». arXiv:1006.2938 [math.HO ].

внешняя ссылка