Функционал Мамфорда – Шаха - Mumford–Shah functional - Wikipedia

В Функционал Мамфорда – Шаха это функциональный который используется для установления критерия оптимальности для сегментации изображения на подобласти. Изображение моделируется как кусочно-гладкая функция. Функционал наказывает расстояние между моделью и входным изображением, недостаточную гладкость модели внутри подобластей и длину границ подобластей. Минимизируя функционал, можно вычислить лучшую сегментацию изображения. Функционал предложили математики Дэвид Мамфорд и Джаянт Шах в 1989 году.[1]

Определение функционала Мамфорда – Шаха.

Рассмотрим изображение я с областью определения D, вызов J модель изображения и вызовите B границы, которые связаны с моделью: функционал Мамфорда – Шаха E[ J,B ] определяется как

Оптимизация функционала может быть достигнута путем приближения его к другому функционалу, как было предложено Амброзио и Торторелли.[2]

Минимизация функционала

Предел Амброзио – Торторелли

Амбросио и Торторелли[2] показали, что функционал Мамфорда – Шаха E[ J,B ] можно получить как предел семейства функционалов энергии E[ J,z, ε], где граница B заменяется непрерывной функцией z величина которого указывает на наличие границы. Их анализ показывает, что функционал Мамфорда – Шаха имеет четко определенный минимум. Он также дает алгоритм для оценки минимума.

Определяемые ими функционалы имеют следующий вид:

где ε> 0 - (малый) параметр и ϕ(z) - потенциальная функция. Два типичных варианта для ϕ(z) находятся

  • Этот выбор связывает набор ребер B с набором точек z такой, что ϕ1(z) ≈ 0
  • Этот выбор связывает набор ребер B с набором точек z такой, что ϕ1(z) ≈ ½

Нетривиальным шагом в их выводе является доказательство того, что при , последние два члена энергетической функции (т. е. последние интеграл член функционала энергии) сходятся к интегралу по множеству ребер ∫Bds.

Энергетический функционал E[ J,z, ε] можно минимизировать с помощью методы градиентного спуска, гарантируя сходимость к локальному минимуму.

Амбросио, Фуско, и Hutchinson, установил результат, чтобы дать оптимальную оценку Хаусдорфово измерение сингулярного множества минимизаторов энергии Мамфорд-Шаха.[3]

Смотрите также

Примечания

Рекомендации