Мультипликативно замкнутое множество - Multiplicatively closed set

В абстрактная алгебра, а мультипликативно замкнутое множество (или же мультипликативный набор) это подмножество S из кольцо р такое, что выполняются следующие два условия:^[1][2]

• ${displaystyle 1in S}$,
• ${displaystyle xyin S}$ для всех ${displaystyle x, yin S}$.

Другими словами, S является закрыто принимая конечные продукты, в том числе пустой продукт 1.^[3]Эквивалентно мультипликативный набор - это субмоноид мультипликативного моноид кольца.

Мультипликативные наборы особенно важны в коммутативная алгебра, где они используются для строительства локализации коммутативных колец.

Подмножество S кольца р называется насыщенный если он закрыт под прием делители: т.е. всякий раз, когда продукт ху в S, элементы Икс и у находятся в S тоже.

Примеры

Общие примеры мультипликативных наборов включают:

• то теоретико-множественное дополнение из премьер идеальный в коммутативном кольце;
• набор {1, Икс, Икс², Икс³, ...}, где Икс элемент кольца;
• набор единицы кольца;
• набор неделители нуля в кольце;
• 1 + я для идеального я.

Характеристики

• Идеальный п коммутативного кольца р является простым тогда и только тогда, когда его дополнение р ∖ п мультипликативно замкнуто.
• Подмножество S является одновременно насыщенным и мультипликативно замкнутым тогда и только тогда, когда S является дополнением к союз главных идеалов.^[4] В частности, дополнение к простому идеалу одновременно насыщено и мультипликативно замкнуто.
• Пересечение семейства мультипликативных множеств является мультипликативным множеством.
• Пересечение семейства насыщенных множеств насыщено.

Смотрите также

• Локализация кольца
• Набор правых знаменателей

Примечания

Рекомендации

• М. Ф. Атья и И. Г. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Эддисон-Уэсли, 1969.
• Дэвид Эйзенбуд, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Спрингер, 1995.
• Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (Пересмотренное изд.), Издательство Чикагского университета, Г-Н  0345945
• Серж Ланг, Алгебра 3-е изд., Springer, 2002.