Гипотеза парной корреляции Монтгомери - Montgomerys pair correlation conjecture - Wikipedia

Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году

В математике Гипотеза парной корреляции Монтгомери это гипотеза, сделанная Хью Монтгомери  (1973 ), что парная корреляция между парами нулей Дзета-функция Римана (нормировано на единичный средний интервал) равно

который, как Фриман Дайсон указал ему, такая же, как пара корреляционная функция из случайные эрмитовы матрицы. Неформально это означает, что шанс найти нуль на очень коротком интервале длиной 2πL/бревно(Т) на расстоянии 2πты/бревно(Т) с нуля 1/2 +Это около L умножить на выражение выше. (Фактор 2π / log (Т) - коэффициент нормализации, который можно неформально рассматривать как средний интервал между нулями с мнимой частью около Т.) Андрей Одлызко  (1987 ) показал, что гипотеза подтверждается крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей. Гипотеза распространена на корреляции более чем двух нулей, а также на дзета-функции автоморфных представлений (Рудник и Сарнак 1996 ). В 1982 году ученик Монтгомери Али Эрхан Озлюк доказал гипотезу парной корреляции для некоторых L-функций Дирихле.А.Е. Озлюк  (1982 )

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству Гипотеза Римана. В Гипотеза Гильберта – Полиа утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора, и влечет RH. Некоторые думают, что это многообещающий подход (Андрей Одлызко  (1987 )).

Монтгомери изучал преобразование Фурье F(Икс) парной корреляционной функции и показал (в предположении гипотезы Римана), что она была равна |Икс| для |Икс| <1. Его методы не смогли определить его за |Икс| ≥1, но он предположил, что для этих Икс, что означает, что функция парной корреляции такая же, как и выше. Его также мотивировала идея о том, что гипотеза Римана - это не кирпичная стена, и можно смело высказывать сильнее домыслы.

Численный расчет Одлыжко

Реальная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа GUE. Синие точки описывают нормированные расстояния между нетривиальными нулями дзета-функции Римана, первые 105 нули.

В 1980-х годах, мотивированный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей ζ (s). Он подтвердил, что распределение расстояний между нетривиальными нулями, используя подробный численный расчет, и продемонстрировал, что гипотеза Монтгомери верна, и распределение будет согласовываться с распределением расстояний между нулями. Матрица случайных чисел GUE собственные значения с использованием Cray X-MP. В 1987 году он сообщил о своих расчетах в газете. Андрей Одлызко  (1987 ).

Для нетривиального нуля 1/2 + iγп, пусть нормированные расстояния будут

Тогда мы могли бы ожидать следующую формулу как предел для :

На основе нового алгоритма, разработанного Одлыжко и Шёнхаге, который позволил им вычислить значение ζ (1/2 + it) в среднем за время tε шагов, Одлызко вычислил миллионы нулей на высоте около 1020 и дал некоторые доказательства гипотезы GUE.[1][2]

Цифра содержит первые 105 нетривиальные нули дзета-функции Римана. Чем больше выбирается нулей, тем точнее их распределение приближается к форме случайной матрицы GUE.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Одлызко А.М. «1020-й ноль дзета-функции Римана и 70 миллионов ее соседей, препринт AT&T Bell Lab. (1989)
  2. ^ М. Мехта (1990), глава 1
  • Озлюк, А.Е. (1982), Парная корреляция нулей L-функций Дирихле., Докторская диссертация, Анн-Арбор: Univ. Мичигана, МИСТЕР  2632180
  • Кац, Николас М.; Сарнак, Петр (1999), «Нули дзета-функций и симметрия», Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия, 36 (1): 1–26, Дои:10.1090 / S0273-0979-99-00766-1, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  1640151
  • Монтгомери, Хью Л. (1973), "Парная корреляция нулей дзета-функции", Аналитическая теория чисел, Proc. Симпози. Чистая математика., XXIV, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 181–193, МИСТЕР  0337821
  • Одлызко, А.М. (1987), "О распределении расстояний между нулями дзета-функции", Математика вычислений, 48 (177): 273–308, Дои:10.2307/2007890, ISSN  0025-5718, JSTOR  2007890, МИСТЕР  0866115
  • Рудник, Зеев; Сарнак, Петр (1996), "Нули главных L-функций и теория случайных матриц", Математический журнал герцога, 81 (2): 269–322, Дои:10.1215 / S0012-7094-96-08115-6, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  1395406