Моноидальный функтор - Monoidal functor

В теория категорий, моноидальные функторы функторы между моноидальные категории сохраняющие моноидальную структуру. Более конкретно, моноидальный функтор между двумя моноидальными категориями состоит из функтора между категориями, а также двух карты согласованности- естественное преобразование и морфизм, сохраняющие моноидальное умножение и единицу соответственно. Математики требуют, чтобы эти карты согласованности удовлетворяли дополнительным свойствам в зависимости от того, насколько строго они хотят сохранить моноидальную структуру; каждое из этих свойств приводит к несколько иному определению моноидальных функторов

Карты когерентности слабые моноидальные функторы не удовлетворяют никаким дополнительным свойствам; они не обязательно обратимы.
Карты когерентности сильные моноидальные функторы обратимы.
Карты когерентности строгие моноидальные функторы тождественные карты.

Хотя здесь мы проводим различие между этими разными определениями, авторы могут называть любое из них просто моноидальные функторы.

Определение

Позволять ${displaystyle ({mathcal {C}}, otimes, I_ {mathcal {C}})}$ и ${displaystyle ({mathcal {D}}, ullet, I_ {mathcal {D}})}$ быть моноидальными категориями. А слабый моноидальный функтор из ${displaystyle {mathcal {C}}}$ к ${displaystyle {mathcal {D}}}$ (который также можно назвать моноидальным функтором) состоит из функтор ${displaystyle F: {mathcal {C}} o {mathcal {D}}}$ вместе с естественная трансформация

{displaystyle phi _ {A, B}: FA ullet FB o F (Aotimes B)}

между ${displaystyle {mathcal {C}} imes {mathcal {C}} o {mathcal {D}}}$ функторы и морфизм

{displaystyle phi: I_ {mathcal {D}} o FI_ {mathcal {C}}}

,

называется карты согласованности или же структурные морфизмы, которые таковы, что для каждых трех объектов ${displaystyle A}$ , ${displaystyle B}$ и ${displaystyle C}$ из ${displaystyle {mathcal {C}}}$ диаграммы

,

и

ездить в категории ${displaystyle {mathcal {D}}}$ . Выше различные естественные преобразования, обозначенные с помощью ${displaystyle alpha, ho, lambda}$ являются частями моноидальной структуры на ${displaystyle {mathcal {C}}}$ и ${displaystyle {mathcal {D}}}$ .

Варианты

Двойственным к моноидальному функтору является комоноидальный функтор; это моноидальный функтор, карты когерентности которого обращены. Комоноидальные функторы могут также называться опмоноидальными, моноидальными функторами colax или моноидальными функторами oplax.
А сильный моноидальный функтор - моноидальный функтор, отображение когерентности которого ${displaystyle phi _ {A, B}, phi}$ обратимы.
А строгий моноидальный функтор - моноидальный функтор, отображения когерентности которого являются тождествами.
А сплетенный моноидальный функтор является моноидальным функтором между плетеные моноидальные категории (косы обозначены ${displaystyle gamma}$ ) такая, что следующая диаграмма коммутирует для каждой пары объектов А, B в ${displaystyle {mathcal {C}}}$ :

А симметричный моноидальный функтор сплетенный моноидальный функтор, область определения и область значений которого симметричные моноидальные категории.

Примеры

Базовый функтор ${displaystyle Ucolon (mathbf {Ab}, otimes _ {mathbf {Z}}, mathbf {Z}) ightarrow (mathbf {Set}, imes, {ast})}$ из категории абелевых групп в категорию множеств. В этом случае карта ${displaystyle phi _ {A, B} двоеточие U (A) имеет значение U (B) o U (Aotimes B)}$ отправляет (a, b) в ${displaystyle aotimes b}$ ; карта ${displaystyle phi двоеточие {*} или mathbb {Z}}$ отправляет ${displaystyle ast}$ к 1.
Если ${displaystyle R}$ является (коммутативным) кольцом, то свободный функтор ${displaystyle {mathsf {Set}}, o R {mathsf {-mod}}}$ продолжается до сильно моноидального функтора ${displaystyle ({mathsf {Set}}, sqcup, emptyset) o (R {mathsf {-mod}}, oplus, 0)}$ (а также ${displaystyle ({mathsf {Set}}, imes, {ast}) o (R {mathsf {-mod}}, otimes, R)}$ если ${displaystyle R}$ коммутативна).
Если ${displaystyle R o S}$ является гомоморфизмом коммутативных колец, то функтор ограничения ${displaystyle (S {mathsf {-mod}}, otimes _ {S}, S) o (R {mathsf {-mod}}, otimes _ {R}, R)}$ моноидален, а функтор индукции ${displaystyle (R {mathsf {-mod}}, otimes _ {R}, R) o (S {mathsf {-mod}}, otimes _ {S}, S)}$ сильно моноидален.
Важным примером симметричного моноидального функтора является математическая модель топологическая квантовая теория поля, который был недавно разработан. Позволять ${displaystyle mathbf {Bord} _ {langle n-1, nangle}}$ быть категорией кобордизмы из п-1, н-мерные многообразия с тензорным произведением, заданным несвязным объединением, и единица пустого многообразия. Топологическая квантовая теория поля в размерности п является симметричным моноидальным функтором ${displaystyle Fcolon (mathbf {Bord} _ {langle n-1, nangle}, sqcup, emptyset) ightarrow (mathbf {kVect}, otimes _ {k}, k).}$
В гомология функтор моноидален при ${displaystyle (Ch (R {mathsf {-mod}}), otimes, R [0]) o (grR {mathsf {-mod}}, otimes, R [0])}$ через карту ${displaystyle H_ {ast} (C_ {1}) otimes H_ {ast} (C_ {2}) o H_ {ast} (C_ {1} otimes C_ {2}), [x_ {1}] otimes [x_ { 2}] карты [x_ {1} время x_ {2}]}$ .

Характеристики

Если ${displaystyle (M, mu, epsilon)}$ это моноидный объект в ${displaystyle C}$ , тогда ${displaystyle (FM, Fmu circ phi _ {M, M}, Fepsilon circ phi)}$ моноидный объект в ${displaystyle D}$ .

Моноидальные функторы и дополнения

Предположим, что функтор ${displaystyle F: {mathcal {C}} o {mathcal {D}}}$ сопряжена слева к моноидальному ${displaystyle (G, n): ({mathcal {D}}, ullet, I_ {mathcal {D}}) o ({mathcal {C}}, otimes, I_ {mathcal {C}})}$ . потом ${displaystyle F}$ имеет комоноидальную структуру ${displaystyle (F, m)}$ индуцированный ${displaystyle (G, n)}$ , определяется

{displaystyle m_ {A, B} = varepsilon _ {FA ullet FB} circ Fn_ {FA, FB} circ F (eta _ {A} otimes eta _ {B}): F (Aotimes B) o FA ullet FB}

и

{displaystyle m = varepsilon _ {I_ {mathcal {D}}} circ Fn: FI_ {mathcal {C}} o I_ {mathcal {D}}}

.

Если индуцированная структура на ${displaystyle F}$ сильна, то единица и сумма присоединения равны моноидальные естественные преобразования, а присоединение называется моноидальное присоединение; наоборот, левый сопряженный к моноидальному присоединению всегда сильный моноидальный функтор.

Аналогично, правый сопряженный к комоноидальному функтору является моноидальным, а правый сопряженный к комоноидальному функтору является сильным моноидальным функтором.

Смотрите также

Моноидальное естественное преобразование