Чудо-октадный генератор - Miracle Octad Generator

В математике Чудо-октадный генератор, или же МОГ, - математический инструмент, представленный Робом Т. Кертисом.[1] для манипулирования Матье группы, двоичный код Голея и Решетка пиявки.

Описание

Miracle Octad Generator - это массив 4x6 комбинации описание любой точки в 24-мерном пространстве. Он сохраняет все симметрии и максимальные подгруппы из Группа Матье M24, а именно группа монады, группа дуады, группа триады, группа октады, группа октерна, группа секстета, группа трио и группа дуума. Поэтому его можно использовать для изучения всех этих симметрий.

Код Голея

Еще одно применение Miracle Octad Generator - быстрая проверка кодовых слов двоичный код Голея. Каждый элемент Miracle Octad Generator может хранить либо '1', либо '0', обычно отображаемый как звездочка и пустое место соответственно. Каждый столбец и верхняя строка имеют свойство, известное как считать, то есть количество звездочек в данной строке. Одним из критериев того, чтобы набор из 24 координат был кодовым словом в двоичном коде Голея, является то, что все семь отсчетов должны быть одинаковыми паритет. Другое ограничение заключается в том, что оценки каждого столбца образуют слово в гексакод. Оценка столбца может быть 0, 1, ω или ω-bar, в зависимости от его содержимого. Оценка столбца оценивается по следующим правилам:

  • Если столбец содержит ровно одну звездочку, ему присваивается оценка 0, если он находится в верхней строке, 1, если он находится во второй строке, ω для третьей строки и ω-полоски для нижней строки.
  • Одновременное дополнение каждого бита в столбце не влияет на его оценку.
  • Дополнение бита в верхнем ряду также не влияет на его оценку.

Кодовое слово может быть получено только из его верхней строки и оценки, что доказывает, что в двоичном коде Голея содержится ровно 4096 кодовых слов.

MiniMOG

Джон Хортон Конвей разработал массив 4 × 3, известный как MiniMOG. MiniMOG обеспечивает ту же функцию для группы Mathieu M.12 и троичный код Голея как Miracle Octad Generator для M24 и двоичный код Голея соответственно. Вместо использования четвертичного гексакода MiniMOG использует троичный тетракод.

Примечания

  1. ^ Кертис (1976)

Рекомендации

  • Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98585-5, МИСТЕР  0920369
  • Кертис, Р. Т. (1976), "Новый комбинаторный подход к M24", Математические труды Кембриджского философского общества, 79 (1): 25–42, Дои:10.1017 / S0305004100052075, ISSN  0305-0041, МИСТЕР  0399247

внешняя ссылка