Функция Мёбиуса - Möbius function

Классический Функция Мёбиуса $μ (п)$ это важный мультипликативная функция в теория чисел и комбинаторика. Немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус представил его в 1832 году.^[я]^[ii]^[2] Это частный случай более общего объекта комбинаторики.

Определение

Для любого положительного целое число $п$ , определять $μ (п)$ как сумма примитивный $п$ корни единства. Имеет значение в ${-1, 0, 1}$ в зависимости от факторизация из $п$ в главные факторы:

$μ (п) = - 1$ если $п$ это без квадратов положительное целое число с четное количество простых факторов.
$μ (п) = -1$ если $п$ положительное целое число без квадратов с нечетным числом простых множителей.
$μ (п) = - 0$ если $п$ имеет квадрат основного множителя.

В качестве альтернативы функцию Мёбиуса можно представить как

{displaystyle mu (n) = delta _ {omega (n)} ^ {Omega (n)} лямбда (n)}

куда ${displaystyle delta}$ это Дельта Кронекера, $λ (п)$ это Функция Лиувилля, $ω (п)$ - количество различных простых делителей числа $п$ , и $Ω (п)$ количество простых делителей $п$ , считая с кратностью.

Ценности $μ (п)$ для первых 30 положительных чисел (последовательность A008683 в OEIS ) находятся

$п$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$μ (п)$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

$п$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$μ (п)$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

$п$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$μ (п)$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

Первые 50 значений функции показаны ниже:

Приложения

Математический ряд

В Серия Дирихле который генерирует функция Мёбиуса является (мультипликативной) обратной функцией Дзета-функция Римана; если $s$ комплексное число с действительной частью больше единицы, мы имеем

{displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (n)} {n ^ {s}}} = {frac {1} {zeta (s)}}.}.}

Это видно по его Произведение Эйлера

{displaystyle {frac {1} {zeta (s)}} = prod _ {p {ext {prime}}} {left (1- {frac {1} {p ^ {s}}} ight)} = left ( 1- {frac {1} {2 ^ {s}}} право) влево (1- {frac {1} {3 ^ {s}}} право) лево (1- {frac {1} {5 ^ {s }}} ight) cdots}

В Серия Ламберта для функции Мёбиуса:

{displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = q,}

который сходится для $| q | < 1$ . Для премьер ${displaystyle alpha geq 2}$ , у нас также есть

{displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (alpha n) q ^ {n}} {q ^ {n} -1}} = sum _ {ngeq 0} q ^ {alpha ^ { n}}, | q | <1.}

Алгебраическая теория чисел

Гаусс^[1] доказал, что для простого числа $п$ сумма его первобытные корни конгруэнтно $μ (п - 1) (мод п)$ .

Если $F q$ обозначает конечное поле порядка $q$ (куда $q$ обязательно степень простого числа), то число $N$ монических неприводимых многочленов степени $п$ над $F q$ дан кем-то:^[3]

{displaystyle N (q, n) = {frac {1} {n}} sum _ {dmid n} mu (d) q ^ {n / d}.}

Характеристики

Функция Мёбиуса есть мультипликативный (т.е. $μ (ab) = μ (а) μ (б)$ ) в любое время $а$ и $б$ находятся совмещать.

Сумма функции Мёбиуса по всем положительным делителям $п$ (включая $п$ сам и 1) равен нулю, кроме случаев, когда $п = 1$ :

{displaystyle sum _ {dmid n} mu (d) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} n = 1, 0 & {ext {if}} n> 1.end {cases}}}

Приведенное выше равенство приводит к важному Формула обращения Мебиуса и это основная причина, почему $μ$ имеет актуальное значение в теории мультипликативных и арифметических функций.

Другие приложения $μ (п)$ в комбинаторике связаны с использованием Перечислимая теорема Полиа в комбинаторных группах и комбинаторных перечислениях.

Есть формула^[4] для вычисления функции Мёбиуса без прямого знания факторизации ее аргумента:

{displaystyle mu (n) = sum _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}},}

т.е. $μ (п)$ это сумма примитивных $п$ -го корни единства. (Однако вычислительная сложность этого определения, по крайней мере, такая же, как у определения произведения Эйлера.)

Доказательство формулы для $\sum d | п μ (d)$

С помощью

{displaystyle mu (n) = sum _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}},}

формула

{displaystyle sum _ {dmid n} mu (d) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} n = 1, 0 & {ext {if}} n> 1end {cases}}}

можно рассматривать как следствие того, что $п$ сумма корней из единицы равна 0, так как каждый $п$ корень из единства примитивен $d$ корень -й степени из единицы ровно для одного делителя $d$ из $п$ .

Однако это также можно доказать из первых принципов. Прежде всего заметим, что это тривиально верно, когда $п = 1$ . Предположим тогда, что $п > 1$ . Тогда существует взаимное соответствие между факторами $d$ из $п$ для которого $μ (d) \neq 0$ и подмножества множества всех простых факторов $п$ . Утвержденный результат следует из того факта, что каждое непустое конечное множество имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности.

Последний факт легко показать индукцией по мощности $| S |$ непустого конечного множества $S$ . Во-первых, если $| S | = 1$ , существует ровно одно подмножество нечетной мощности $S$ , а именно $S$ само, и ровно одно подмножество четной мощности, а именно $\emptyset$ . Далее, если $| S | > 1$ , затем разделим подмножества $S$ на два подкласса в зависимости от того, содержат они фиксированный элемент или нет $Икс$ в $S$ . Между этими двумя подклассами существует очевидное взаимно однозначное соответствие, объединяющее те подмножества, которые имеют одинаковое дополнение относительно подмножества ${Икс}$ . Кроме того, один из этих двух подклассов состоит из всех подмножеств множества $S {Икс}$ , и, следовательно, по предположению индукции, имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности. Эти подмножества, в свою очередь, биективно соответствуют четной и нечетной мощности ${Икс}$ -содержащие подмножества $S$ . Индуктивный шаг следует непосредственно из этих двух биекций.

Связанный результат состоит в том, что биномиальные коэффициенты показывают чередующиеся элементы нечетной и четной степени, которые суммируются симметрично.

Функция Мертенса

В теории чисел другой арифметическая функция с функцией Мёбиуса тесно связана функция Функция Мертенса, определяется

{displaystyle M (n) = сумма _ {k = 1} ^ {n} mu (k)}

для каждого натурального числа $п$ . Эта функция тесно связана с положением нулей Дзета-функция Римана. См. Статью о Гипотеза Мертенса для получения дополнительной информации о связи между $M (п)$ и Гипотеза Римана.

Из формулы

{displaystyle mu (n) = sum _ {stackrel {1leq kleq n} {gcd (k ,, n) = 1}} e ^ {2pi i {frac {k} {n}}},}

из этого следует, что функция Мертенса определяется выражением:

{displaystyle M (n) = - 1 + sum _ {ain {mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2pi ia},}

куда F_$п$ это Последовательность Фари порядка $п$ .

Эта формула используется при доказательстве Теорема Франеля – Ландау.^[5]

Средний заказ

В средний заказ функции Мёбиуса равна нулю. Это утверждение фактически эквивалентно теорема о простых числах.^[6]

$μ (п)$ разделы

$μ (п) = 0$ если и только если $п$ делится на квадрат простого числа. Первые числа с этим свойством (последовательность A013929 в OEIS ):

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ....

Если $п$ простое, то $μ (п) = -1$ , но обратное неверно. Первый непростой $п$ для которого $μ (п) = -1$ является 30 = 2 × 3 × 5. Первые такие числа с тремя различными простыми множителями (сфенические числа ) находятся:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (последовательность A007304 в OEIS ).

и первые такие числа с 5 различными простыми множителями:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... ( последовательность A046387 в OEIS ).

Обобщения

Алгебры инцидентности

В комбинаторика, каждая локально конечная частично заказанный набор (poset) назначается алгебра инцидентности. Одним из выдающихся членов этой алгебры является «функция Мёбиуса» того же Пауза. Классическая функция Мёбиуса, рассматриваемая в этой статье, по существу равна функции Мёбиуса множества всех натуральных чисел, частично упорядоченных делимость. См. Статью о алгебры инцидентности для точного определения и нескольких примеров этих общих функций Мёбиуса.

Функция Поповича

Константин Попович^[7] определил обобщенную функцию Мёбиуса $μ k = μ * ... * μ$ быть $k$ -складывать Свертка Дирихле функции Мёбиуса с собой. Таким образом, это снова мультипликативная функция с

{displaystyle mu _ {k} (p ^ {a}) = (- 1) ^ {a} {inom {k} {a}}}

где биномиальный коэффициент принимается равным нулю, если $а > k$ . Определение может быть расширено до сложных $k$ читая бином как многочлен от $k$ .^[8]

Физика

Функция Мёбиуса также возникает в примон газ или же свободный газ Римана модель суперсимметрия. В этой теории фундаментальные частицы или «примоны» имеют энергии $бревно п$ . Под второе квантование, рассмотрены многочастичные возбуждения; они даны $бревно п$ для любого натурального числа $п$ . Это следует из того факта, что разложение натуральных чисел на простые числа однозначно.

В свободном газе Римана может встречаться любое натуральное число, если примоны принимаются как бозоны. Если их принять за фермионы, то Принцип исключения Паули исключает квадраты. Оператор $(-1) F$ то, что отличает фермионы и бозоны, есть не что иное, как функция Мёбиуса $μ (п)$ .

Свободный газ Римана имеет ряд других интересных связей с теорией чисел, включая тот факт, что функция распределения это Дзета-функция Римана. Эта идея лежит в основе Ален Конн попытка доказательства Гипотеза Римана.^[9]

Смотрите также

Примечания

^ Харди и Райт, Примечания к гл. XVI: «... $μ (п)$ неявно встречается в работах Эйлера еще в 1748 году, но Мёбиус в 1832 году был первым, кто систематически исследовал его свойства ».Харди и Райт 1980, Примечания к гл. XVI)
^ в Disquisitiones Arithmeticae (1801) Карл Фридрих Гаусс показал, что сумма первообразных корней ( $мод п$ ) является $μ (п - 1)$ , (видеть # Свойства и приложения ), но он больше не использовал эту функцию. В частности, он не использовал инверсию Мёбиуса в Disquisitiones.^[1] В Disquisitiones Arithmeticae переведено с латыни на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает в себя все его работы по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.

Цитаты

^ ^а ^б Гаусс 1986, Изобразительное искусство. 81.
^ Мебиус 1832 С. 105–123.
^ Якобсон 2009, §4.13.
^ Харди и Райт 1980, (16.6.4), с. 239.
^ Эдвардс 1974, Гл. 12.2.
^ Апостол 1976 г., §3.9.
^ Поповичи 1963 С. 493–499.
^ Sándor & Crstici 2004, п. 107.
^ Bost & Connes 1995 С. 411–457.

Источники

Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк; Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МИСТЕР 0434929, Zbl 0335.10001
Bost, J.-B .; Конн, Ален (1995), "Алгебры Гекке, факторы типа III и фазовые переходы со спонтанным нарушением симметрии в теории чисел", Selecta Mathematica (Новая серия), 1: 411–457
Делеглиз, Марк; Риват, Жоэль (1996), «Вычисление суммы функции Мёбиуса», Экспериментальная математика, 5 (4): 291–295
Эдвардс, Гарольд (1974), Дзета-функция Римана, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
Гаусс, Карл Фридрих (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел), Х. Мазер (немецкий переводчик) (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8
Гаусс, Карл Фридрих (1986), Disquisitiones Arithemeticae, Артур А. Кларк (английский переводчик) (исправленное 2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-96254-9
Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (1980) [Первое издание опубликовано в 1938 году], Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5 - через Интернет-архив
Джейкобсон, Натан (2009) [Впервые опубликовано в 1985 году], Базовая алгебра I (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
Климов, Н. И. (2001) [1994], «Функция Мёбиуса», Энциклопедия математики, EMS Press
Мебиус, А.Ф. (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 9: 105–123
Пегг, Эд, младший (2003), «Функция Мёбиуса (и бесквадратные числа)», Математические игры Эда Пегга
Поповичи, Константин П. (1963), "Обобщение функции Мёбиуса", Studii şi Cercetări Matematice, 14: 493–499, МИСТЕР 0181602
Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004), Справочник по теории чисел II, Дордрехт: Kluwer Academic, ISBN 1-4020-2546-7, Zbl 1079.11001
Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I, Дордрехт: Springer-Verlag, стр. 187–226, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мёбиуса». MathWorld.

[1] Харди и Райт, Примечания к гл. XVI: «... $μ (п)$ неявно встречается в работах Эйлера еще в 1748 году, но Мёбиус в 1832 году был первым, кто систематически исследовал его свойства ».Харди и Райт 1980, Примечания к гл. XVI)

[3] в Disquisitiones Arithmeticae (1801) Карл Фридрих Гаусс показал, что сумма первообразных корней ( $мод п$ ) является $μ (п - 1)$ , (видеть # Свойства и приложения ), но он больше не использовал эту функцию. В частности, он не использовал инверсию Мёбиуса в Disquisitiones.^[1] В Disquisitiones Arithmeticae переведено с латыни на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает в себя все его работы по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.

[FOOTNOTEGauss1986Art._81-2] а ^б Гаусс 1986, Изобразительное искусство. 81.

[FOOTNOTEMöbius1832105–123-4] Мебиус 1832 С. 105–123.

[FOOTNOTEJacobson2009§4.13-5] Якобсон 2009, §4.13.

[FOOTNOTEHardyWright1980(16.6.4),_p._239-6] Харди и Райт 1980, (16.6.4), с. 239.

[FOOTNOTEEdwards1974Ch._12.2-7] Эдвардс 1974, Гл. 12.2.

[FOOTNOTEApostol1976§3.9-8] Апостол 1976 г., §3.9.

[FOOTNOTEPopovici1963493–499-9] Поповичи 1963 С. 493–499.

[FOOTNOTESándorCrstici2004107-10] Sándor & Crstici 2004, п. 107.

[FOOTNOTEBostConnes1995411–457-11] Bost & Connes 1995 С. 411–457.

[я]

[ii]

[2]

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]