Логарифмическая интегральная функция - Logarithmic integral function - Wikipedia

В математика, то логарифмическая интегральная функция или же интегральный логарифм ли (Икс) это специальная функция. Это актуально в проблемах физика и имеет теоретико-числовой значимость. В частности, согласно Теорема Зигеля-Вальфиса это очень хорошо приближение к функция подсчета простых чисел, который определяется как количество простые числа меньше или равно заданному значению .

График логарифмической интегральной функции

Интегральное представление

Логарифмический интеграл имеет интегральное представление, определенное для всех положительных действительные числа Икс ≠ 1 определенный интеграл

Здесь, пер обозначает натуральный логарифм. Функция 1 / (ln т) имеет необычность в т = 1, а интеграл для Икс > 1 интерпретируется как Главное значение Коши,

Смещение логарифмического интеграла

В логарифмический интеграл смещения или же Логарифмический интеграл Эйлера определяется как

Таким образом, интегральное представление имеет то преимущество, что позволяет избежать сингулярности в области интегрирования.

Особые ценности

Функция li (Икс) имеет единственный положительный ноль; это происходит в Икс ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEISA070769; это число известно как Константа Рамануджана – Зольднера.

−Li (0) = li (2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ... OEISA069284

Это куда это неполная гамма-функция. Это следует понимать как Главное значение Коши функции.

Представление серии

Функция li (Икс) относится к экспоненциальный интеграл Ei (Икс) через уравнение

что действительно для Икс > 0. Это тождество дает представление li (Икс) в качестве

где γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEISA001620 это Константа Эйлера – Маскерони. Более быстро сходящийся ряд Рамануджан [1] является

Асимптотическое разложение

Асимптотика для Икс → ∞ является

куда это нотация большой O. Полный асимптотическое разложение является

или же

Это дает следующую более точную асимптотику:

В качестве асимптотического разложения этот ряд имеет вид не сходится: это разумное приближение, только если ряд усечен конечным числом членов и только большими значениями Икс работают. Это разложение следует непосредственно из асимптотического разложения для экспоненциальный интеграл.

Это подразумевает, например, что мы можем заключить li в скобки как:

для всех .

Теоретико-числовое значение

Логарифмический интеграл важен в теория чисел, фигурирующие в оценках количества простые числа меньше заданного значения. Например, теорема о простых числах утверждает, что:

куда обозначает количество простых чисел, меньших или равных .

Если предположить Гипотеза Римана, получаем еще сильнее:[2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмический интеграл». MathWorld.
  2. ^ Абрамовиц и Стегун, стр. 230, 5.1.20