Список формул в римановой геометрии - List of formulas in Riemannian geometry

Это список формулы встречается в [gamma ijk = gamma jik частично на отношениях симметрии символов Кристоффеля первого рода. [Риманова геометрия]].

Символы Кристоффеля, ковариантная производная

В гладком карта координат, то Символы Кристоффеля первого рода даются

${displaystyle Gamma _ {kij} = {frac {1} {2}} left ({frac {partial} {partial x ^ {j}}} g_ {ki} + {frac {partial} {partial x ^ {i}) }} g_ {kj} - {frac {partial} {partial x ^ {k}}} g_ {ij} ight) = {frac {1} {2}} влево (g_ {ki, j} + g_ {kj, i} -g_ {ij, k} ight) ,,}$

и символы Кристоффеля второго типа

${displaystyle {egin {align} Gamma ^ {m} {} _ {ij} & = g ^ {mk} Gamma _ {kij} & = {frac {1} {2}}, g ^ {mk} left ( {frac {partial} {partial x ^ {j}}} g_ {ki} + {frac {partial} {partial} {partial x ^ {i}}} g_ {kj} - {frac {partial} {partial x ^ {k} }} g_ {ij} ight) = {frac {1} {2}}, g ^ {mk} left (g_ {ki, j} + g_ {kj, i} -g_ {ij, k} ight) ,. конец {выровнен}}}$

Здесь ${displaystyle g ^ {ij}}$ это обратная матрица к метрическому тензору ${displaystyle g_ {ij}}$. Другими словами,

${displaystyle delta ^ {i} {} _ {j} = g ^ {ik} g_ {kj}}$

и поэтому

${displaystyle n = delta ^ {i} {} _ {i} = g ^ {i} {} _ {i} = g ^ {ij} g_ {ij}}$

это размер многообразие.

Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии

${displaystyle Gamma _ {kij} = Gamma _ {kji}}$ или, соответственно, ${displaystyle Gamma ^ {i} {} _ {jk} = Gamma ^ {i} {} _ {kj}}$,

второй из которых эквивалентен непринужденности кручения Леви-Чивита связь.

Договорные отношения на символах Кристоффеля даны

${displaystyle Gamma ^ {i} {} _ {ki} = {frac {1} {2}} g ^ {im} {frac {partial g_ {im}} {partial x ^ {k}}} = {frac { 1} {2g}} {frac {partial g} {partial x ^ {k}}} = {frac {partial log {sqrt {| g |}}} {partial x ^ {k}}}}$

и

${displaystyle g ^ {kell} Гамма ^ {i} {} _ {kell} = {frac {-1} {sqrt {| g |}}}; {frac {partial left ({sqrt {| g |}}, g ^ {ik} ight)} {частичное x ^ {k}}}}$

где |грамм| абсолютное значение детерминант метрического тензора ${displaystyle g_ {ik}}$. Они полезны при работе с расходимостями и лапласианами (см. Ниже).

В ковариантная производная из векторное поле с компонентами ${displaystyle v ^ {i}}$ дан кем-то:

${displaystyle v ^ {i} {} _ {; j} = (abla _ {j} v) ^ {i} = {frac {partial v ^ {i}} {partial x ^ {j}}} + Gamma ^ {i} {} _ {jk} v ^ {k}}$

и аналогично ковариантная производная ${displaystyle (0,1)}$-тензорное поле с компонентами ${displaystyle v_ {i}}$ дан кем-то:

${displaystyle v_ {i; j} = (abla _ {j} v) _ {i} = {frac {partial v_ {i}} {partial x ^ {j}}} - Гамма ^ {k} {} _ { ij} v_ {k}}$

Для ${displaystyle (2,0)}$-тензорное поле с компонентами ${displaystyle v ^ {ij}}$ это становится

${displaystyle v ^ {ij} {} _ {; k} = abla _ {k} v ^ {ij} = {frac {partial v ^ {ij}} {partial x ^ {k}}} + Gamma ^ {i } {} _ {kell} v ^ {ell j} + Gamma ^ {j} {} _ {kell} v ^ {iell}}$

то же самое для тензоров с большим количеством индексов.

Ковариантная производная функции (скаляр) ${displaystyle phi}$ это просто его обычный дифференциал:

${displaystyle abla _ {i} phi = phi _ {; i} = phi _ {, i} = {frac {partial phi} {partial x ^ {i}}}}$

Поскольку Леви-Чивита связь метрично-совместима, ковариантные производные метрик обращаются в нуль,

${displaystyle (abla _ {k} g) _ {ij} = 0, quad (abla _ {k} g) ^ {ij} = 0}$

а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)

${displaystyle abla _ {k} {sqrt {| g |}} = 0}$

В геодезический ${displaystyle X (t)}$ начиная с начала координат с начальной скоростью ${displaystyle v ^ {i}}$ имеет расширение Тейлора в диаграмме:

${displaystyle X (t) ^ {i} = tv ^ {i} - {frac {t ^ {2}} {2}} Гамма ^ {i} {} _ {jk} v ^ {j} v ^ {k } + O (t ^ {3})}$

Тензоры кривизны

Определения

(3,1) Тензор кривизны Римана

• ${displaystyle {R_ {ijk}} ^ {l} = {frac {частичная гамма _ {ik} ^ {l}} {частичная x ^ {j}}} - {frac {частичная гамма _ {jk} ^ {l} } {частичное x ^ {i}}} + сумма _ {p = 1} ^ {n} {ig (} Gamma _ {ik} ^ {p} Gamma _ {jp} ^ {l} -Gamma _ {jk} ^ {p} Гамма _ {ip} ^ {l} {ig)}}$
• ${displaystyle R (u, v) w = abla _ {v} abla _ {u} w-abla _ {u} abla _ {v} w-abla _ {[v, u]} w}$

Кривизна Риччи

• ${displaystyle R_ {ik} = сумма _ {j = 1} ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {j}}$
• ${displaystyle operatorname {Ric} (u, v) = operatorname {tr} (vmapsto R (u, v) w)}$

Скалярная кривизна

• ${Displaystyle R = сумма _ {я = 1} ^ {n} сумма _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} R_ {ik}}$
• ${displaystyle R = имя оператора {tr} _ {g} имя оператора {Ric}}$

Бесследный тензор Риччи

• ${displaystyle Q_ {ik} = R_ {ik} - {frac {1} {n}} Rg_ {ik}}$
• ${displaystyle Q (u, v) = имя оператора {Ric} (u, v) - {гидроразрыв {1} {n}} Rg (u, v)}$

(4,0) Тензор кривизны Римана

• ${displaystyle R_ {ijkl} = сумма _ {p = 1} ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {p} g_ {pl}}$
• ${displaystyle operatorname {Rm} (u, v, w, x) = g {ig (} R (u, v) w, x {ig)}}$

(4,0) Тензор Вейля

• ${displaystyle W_ {ijkl} = R_ {ijkl} - {frac {1} {n (n-1)}} R {ig (} g_ {ik} g_ {jl} -g_ {il} g_ {jk} {ig )} - {frac {1} {n-2}} {ig (} Q_ {ik} g_ {jl} -Q_ {jk} g_ {il} -Q_ {il} g_ {jk} + Q_ {jl} g_ {ik} {ig)}}$
• ${displaystyle W (u, v, w, x) = имя оператора {Rm} (u, v, w, x) - {frac {1} {n (n-1)}} R {ig (} g (u, w) g (v, x) -g (u, x) g (v, w) {ig)} - {frac {1} {n-2}} {ig (} Q (u, w) g (v , x) -Q (v, w) g (u, x) -Q (u, x) g (v, w) + Q (v, x) g (u, w) {ig)}}$

Тензор Эйнштейна

• ${displaystyle G_ {ik} = R_ {ik} - {frac {1} {2}} Rg_ {ik}}$
• ${displaystyle G (u, v) = имя оператора {Ric} (u, v) - {гидроразрыв {1} {2}} Rg (u, v)}$

Идентичности

Видеть Доказательства с использованием символов Кристоффеля для некоторых доказательств

Основные симметрии

• ${displaystyle {R_ {ijk}} ^ {l} = - {R_ {jik}} ^ {l}}$
• ${displaystyle R_ {ijkl} = - R_ {jikl} = - R_ {ijlk} = R_ {klij}}$

Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:

• ${displaystyle W_ {ijkl} = - W_ {jikl} = W_ {ijlk} = W_ {klij}}$
• ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {l = 1} ^ {n} g ^ {il} W_ {ijkl} = 0}$

Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:

• ${displaystyle R_ {jk} = R_ {kj}}$
• ${displaystyle G_ {jk} = G_ {kj}}$
• ${displaystyle Q_ {jk} = Q_ {kj}}$

Первая личность Бьянки

• ${displaystyle R_ {ijkl} + R_ {jkil} + R_ {kijl} = 0}$
• ${displaystyle W_ {ijkl} + W_ {jkil} + W_ {kijl} = 0}$

Вторая идентичность Бьянки

• ${displaystyle abla _ {p} R_ {ijkl} + abla _ {i} R_ {jpkl} + abla _ {j} R_ {pikl} = 0}$
• ${displaystyle (abla _ {u} имя оператора {Rm}) (v, w, x, y) + (abla _ {v} имя оператора {Rm}) (w, u, x, y) + (abla _ {w} имя оператора {Rm}) (u, v, x, y) = 0}$

Контрактная вторая личность Бьянки

• ${displaystyle abla _ {j} R_ {pk} -abla _ {p} R_ {jk} = - abla ^ {l} R_ {jpkl}}$
• ${displaystyle (abla _ {u} имя оператора {Ric}) (v, w) - (abla _ {v} имя оператора {Ric}) (u, w) = - имя оператора {tr} _ {g} {ig (} ( x, y) mapsto (abla _ {x} имя оператора {Rm}) (u, v, w, y) {ig)}}$

Вторая идентичность Бьянки с двойным сокращением

• ${displaystyle sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} abla _ {p} R_ {qk} = {frac {1} {2}} abla _ {k} R}$
• ${displaystyle operatorname {div} _ {g} operatorname {Ric} = {frac {1} {2}} dR}$

Эквивалентно:

• ${displaystyle sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} abla _ {p} G_ {qk} = 0}$
• ${displaystyle operatorname {div} _ {g} G = 0}$

Личность Риччи

Если ${displaystyle X}$ является векторным полем, то

${displaystyle abla _ {i} abla _ {j} X ^ {k} -abla _ {j} abla _ {i} X ^ {k} = - {R_ {ijp}} ^ {k} X ^ {p} ,}$

что и есть определение тензора Римана. Если ${displaystyle omega}$ является одной формой, то

${displaystyle abla _ {i} abla _ {j} omega _ {k} -abla _ {j} abla _ {i} omega _ {k} = {R_ {ijk}} ^ {p} omega _ {p}. }$

В более общем смысле, если ${displaystyle T}$ является (0, k) -тензорным полем, то

${displaystyle abla _ {i} abla _ {j} T_ {l_ {1} cdots l_ {k}} - abla _ {j} abla _ {i} T_ {l_ {1} cdots l_ {k}} = {R_ {ijl_ {1}}} ^ {p} T_ {pl_ {2} cdots l_ {k}} + cdots + {R_ {ijl_ {k}}} ^ {p} T_ {l_ {1} cdots l_ {k- 1} p}.}$

Замечания

Классический результат говорит, что ${displaystyle W = 0}$ если и только если ${displaystyle (M, g)}$ локально конформно плоский, т.е. тогда и только тогда, когда ${displaystyle M}$ можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет вид ${displaystyle g_ {ij} = e ^ {varphi} delta _ {ij}}$ для какой-то функции ${displaystyle varphi}$ на графике.

Градиент, дивергенция, оператор Лапласа – Бельтрами

В градиент функции ${displaystyle phi}$ получается повышением индекса дифференциала ${displaystyle partial _ {i} phi dx ^ {i}}$, компоненты которого определяются по формуле:

${displaystyle abla ^ {i} phi = phi ^ {; i} = g ^ {ik} phi _ {; k} = g ^ {ik} phi _ {, k} = g ^ {ik} частичное _ {k} phi = g ^ {ik} {frac {частичный phi} {частичный x ^ {k}}}}$

В расхождение векторного поля с компонентами ${displaystyle V ^ {m}}$ является

${displaystyle abla _ {m} V ^ {m} = {frac {partial V ^ {m}} {partial x ^ {m}}} + V ^ {k} {frac {partial log {sqrt {| g |}) }} {partial x ^ {k}}} = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {partial (V ^ {m} {sqrt {| g |}})} {частичное x ^ {m}}}.}$

В Оператор Лапласа – Бельтрами действующий на функцию ${displaystyle f}$ дается дивергенцией градиента:

${displaystyle {egin {align} Delta f & = abla _ {i} abla ^ {i} f = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {partial} {partial x ^ {j}}} left (g ^ {jk} {sqrt {| g |}} {frac {partial f} {partial x ^ {k}}} ight) & = g ^ {jk} {frac {partial ^ {2} f} {частичный x ^ {j} частичный x ^ {k}}} + {frac {частичный g ^ {jk}} {частичный x ^ {j}}} {frac {частичный f} {частичный x ^ {k}}} + {frac {1} {2}} g ^ {jk} g ^ {il} {frac {partial g_ {il}} {partial x ^ {j}}} {frac {partial f} {partial x ^ {k }}} = g ^ {jk} {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {j} partial x ^ {k}}} - g ^ {jk} Гамма ^ {l} {} _ {jk } {frac {partial f} {partial x ^ {l}}} конец {выровнено}}}$

Дивергенция антисимметричный тензор поле типа ${displaystyle (2,0)}$ упрощает до

${displaystyle abla _ {k} A ^ {ik} = {frac {1} {sqrt {| g |}}} {frac {partial (A ^ {ik} {sqrt {| g |}})} {partial x ^ {k}}}.}$

Гессен карты ${displaystyle phi: Mightarrow N}$ дан кем-то

${displaystyle left (abla left (dphi ight) ight) _ {ij} ^ {gamma} = {frac {partial ^ {2} phi ^ {gamma}} {partial x ^ {i} partial x ^ {j}}} - ^ {M} Гамма ^ {k} {} _ {ij} {frac {частичный фи ^ {гамма}} {частичный x ^ {k}}} + ^ {N} Гамма ^ {гамма} {} _ {альфа eta} {frac {частичный phi ^ {alpha}} {частичный x ^ {i}}} {frac {частичный phi ^ {eta}} {частичный x ^ {j}}}.}$

Кулькарни – Номидзу

В Кулькарни – Номидзу является важным инструментом для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Позволять ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ - симметричные ковариантные 2-тензоры. В координатах,

${displaystyle A_ {ij} = A_ {ji} qquad qquad B_ {ij} = B_ {ji}}$

Затем мы можем умножить их в некотором смысле, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначают ${displaystyle A {~ клин !!!!!! igcirc ~} B}$. Определяющая формула:

${displaystyle left (A {~ клин !!!!!! igcirc ~} Bight) _ {ijkl} = A_ {ik} B_ {jl} + A_ {jl} B_ {ik} -A_ {il} B_ {jk} -A_ {jk} B_ {il}}$

Ясно, что продукт удовлетворяет

${displaystyle A {~ клин !!!!!! igcirc ~} B = B {~ клин !!!!!! igcirc ~} A}$

В инерциальной системе отсчета

Ортонормированный инерциальная система отсчета является координатной картой, в которой в начале координат выполняются соотношения ${displaystyle g_ {ij} = delta _ {ij}}$ и ${displaystyle Gamma ^ {i} {} _ {jk} = 0}$ (но они могут не удерживаться в других точках кадра). Эти координаты также называются нормальными координатами. В такой системе координат выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны. только в начале кадра.

${displaystyle R_ {ikell m} = {frac {1} {2}} left ({frac {partial ^ {2} g_ {im}} {partial x ^ {k} partial x ^ {ell}}}} + {frac {partial ^ {2} g_ {kell}} {partial x ^ {i} partial x ^ {m}}} - {frac {partial ^ {2} g_ {iell}} {частичное x ^ {k} частичное x ^ {m}}} - {frac {partial ^ {2} g_ {km}} {partial x ^ {i} partial x ^ {ell}}} ight)}$

${displaystyle R ^ {ell} {} _ {ijk} = {frac {partial} {partial x ^ {j}}} Гамма ^ {ell} {} _ {ik} - {frac {partial} {partial x ^ { k}}} Гамма ^ {ell} {} _ {ij}}$

Конформное изменение ${displaystyle {widetilde {g}} = e ^ {2varphi} g}$

Позволять ${displaystyle g}$ - риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии ${displaystyle M}$, и ${displaystyle varphi}$ гладкая вещественнозначная функция на ${displaystyle M}$. потом

${displaystyle {ilde {g}} = e ^ {2varphi} g}$

также является римановой метрикой на ${displaystyle M}$. Мы говорим что ${displaystyle {ilde {g}}}$ (поточечно) конформно ${displaystyle g}$. Очевидно, конформность метрик - это отношение эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Значения, отмеченные тильдой, будут связаны с ${displaystyle {ilde {g}}}$, а те, у кого такие отметки не отмечены, будут связаны с ${displaystyle g}$.)

Леви-Чивита связь

• ${displaystyle {widetilde {Gamma}} _ {ij} ^ {k} = Gamma _ {ij} ^ {k} + {frac {partial varphi} {partial x ^ {i}}} delta _ {j} ^ {k } + {frac {partial varphi} {partial x ^ {j}}} delta _ {i} ^ {k} - {frac {partial varphi} {partial x_ {k}}} g_ {ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {abla}} _ {X} Y = abla _ {X} Y + dvarphi (X) Y + dvarphi (Y) X-g (X, Y) abla varphi}$

(4,0) Тензор кривизны Римана

• ${displaystyle {widetilde {R}} _ {ijkl} = e ^ {2varphi} R_ {ijkl} -e ^ {2varphi} {ig (} g_ {ik} T_ {jl} + g_ {jl} T_ {ik} - g_ {il} T_ {jk} -g_ {jk} T_ {il} {ig)}}$ куда ${displaystyle T_ {ij} = abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi + {frac {1} {2}} | dvarphi | ^ {2} g_ { ij}}$

С использованием Кулькарни – Номидзу:

• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Rm}}} = e ^ {2varphi} operatorname {Rm} -e ^ {2varphi} g {~ клин !!!!!! igcirc ~} left (имя оператора {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi + {frac {1} {2}} | dvarphi | ^ {2} gight)}$

Тензор Риччи

• ${displaystyle {widetilde {R}} _ {ij} = R_ {ij} - (n-2) {ig (} abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi {ig)} - {ig (} Delta varphi + (n-2) | dvarphi | ^ {2} {ig)} g_ {ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Ric}}} = operatorname {Ric} - (n-2) {ig (} operatorname {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig)} - {ig (} Delta varphi + (n- 2) | дварфи | ^ {2} {ig)} g}$

Скалярная кривизна

• ${displaystyle {widetilde {R}} = e ^ {- 2varphi} R-2 (n-1) e ^ {- 2varphi} Delta varphi - (n-2) (n-1) e ^ {- 2varphi} | дварфи | ^ {2}}$
• если ${displaystyle neq 2}$ это можно написать ${displaystyle {ilde {R}} = e ^ {- 2varphi} left [R + {frac {4 (n-1)} {(n-2)}} e ^ {- (n-2) varphi / 2} riangle left (e ^ {(n-2) varphi / 2} ight) ight]}$

Бесследный тензор Риччи

• ${displaystyle {widetilde {R}} _ {ij} - {frac {1} {n}} {widetilde {R}} {widetilde {g}} _ {ij} = R_ {ij} - {frac {1} { n}} Rg_ {ij} - (n-2) {ig (} abla _ {i} abla _ {j} varphi -abla _ {i} varphi abla _ {j} varphi {ig)} - {frac {n -2} {n}} {ig (} Delta varphi + | dvarphi | ^ {2} {ig)} g_ {ij}}$
• ${displaystyle {widetilde {operatorname {Ric}}} - {frac {1} {n}} {widetilde {R}} {widetilde {g}} = operatorname {Ric} - {frac {1} {n}} Rg- (n-2) {ig (} имя оператора {Hess} varphi -dvarphi otimes dvarphi {ig)} - {frac {n-2} {n}} {ig (} Delta varphi + | dvarphi | ^ {2} {ig )}грамм}$

(3,1) Кривизна Вейля

• ${displaystyle {{widetilde {W}} _ {ijk}} ^ {l} = {W_ {ijk}} ^ {l}}$
• ${displaystyle {widetilde {W}} (X, Y, Z) = W (X, Y, Z)}$ для любых векторных полей ${displaystyle X, Y, Z}$

Форма объема

• ${displaystyle {sqrt {det {widetilde {g}}}} = e ^ {nvarphi} {sqrt {det g}}}$
• ${displaystyle dmu _ {widetilde {g}} = e ^ {nvarphi}, dmu _ {g}}$

Оператор Ходжа на p-формах

• ${displaystyle {widetilde {ast}} _ {i_ {1} cdots i_ {np}} ^ {j_ {1} cdots j_ {p}} = e ^ {(n-2p) varphi} ast _ {i_ {1} компакт-диски i_ {np}} ^ {j_ {1} компакт-диски j_ {p}}}$
• ${displaystyle {widetilde {ast}} = e ^ {(n-2p) varphi} ast}$

Кодифференциал на p-формах

• ${displaystyle {widetilde {d ^ {ast}}} _ {j_ {1} cdots j_ {p-1}} ^ {i_ {1} cdots i_ {p}} = e ^ {- 2varphi} (d ^ {ast }) _ {j_ {1} cdots j_ {p-1}} ^ {i_ {1} cdots i_ {p}} - (n-2p) e ^ {- 2varphi} abla ^ {i_ {1}} varphi delta _ {j_ {1}} ^ {i_ {2}} дельта cdots _ {j_ {p-1}} ^ {i_ {p}}}$
• ${displaystyle {widetilde {d ^ {ast}}} = e ^ {- 2varphi} d ^ {ast} - (n-2p) e ^ {- 2varphi} iota _ {abla varphi}}$

Лапласиан по функциям

• ${displaystyle {widetilde {Delta ^ {d}}} Phi = e ^ {- 2varphi} {Big (} Delta ^ {d} Phi - (n-2) g (dvarphi, dPhi) {Big)}}$

Лапласиан Ходжа на p-формах

• ${displaystyle {widetilde {Delta ^ {d}}} omega = e ^ {- 2varphi} {Big (} Delta ^ {d} omega - (n-2p) dcirc iota _ {abla varphi} omega - (n-2p- 2) йота _ {абла варфи} сиркдомега +2 (п-2п) дварфи клин йота _ {абла варфи} омега -2 дварфи клин д ^ {аст} омега {большая)}}$

Вторая фундаментальная форма погружения

Предполагать ${displaystyle (M, g)}$ риманова и ${displaystyle F: Sigma o (M, g)}$ - дважды дифференцируемое погружение. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого ${displaystyle pin M,}$ симметричное билинейное отображение ${displaystyle h_ {p}: T_ {p} Sigma imes T_ {p} Sigma o T_ {F (p)} M,}$ который ценится в ${displaystyle g_ {F (p)}}$-ортогональное линейное подпространство к ${displaystyle dF_ {p} (T_ {p} Sigma) подмножество T_ {F (p)} M.}$ потом

• ${displaystyle {widetilde {h}} (u, v) = h (u, v) - (abla varphi) ^ {perp} g (u, v)}$ для всех ${displaystyle u, vin T_ {p} M}$

Здесь ${displaystyle (abla varphi) ^ {перп}}$ обозначает ${displaystyle g_ {F (p)}}$-ортогональная проекция ${displaystyle abla varphi in T_ {F (p)} M}$ на ${displaystyle g_ {F (p)}}$-ортогональное линейное подпространство к ${displaystyle dF_ {p} (T_ {p} Sigma) подмножество T_ {F (p)} M.}$

Средняя кривизна погружения

В той же настройке, что и выше, помните, что средняя кривизна для каждого ${displaystyle pin Sigma}$ элемент ${displaystyle H_ {p} in T_ {F (p)} M}$ определяется как ${displaystyle g}$-след второй фундаментальной формы. потом

• ${displaystyle e ^ {2varphi} {widetilde {H}} = H-n (abla varphi) ^ {perp}.}$

Формулы вариации

Позволять ${displaystyle M}$ - гладкое многообразие и пусть ${displaystyle g_ {t}}$ - однопараметрическое семейство римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} {ig (} (g_ {t}) _ {ij} {ig)}}$ существуют и сами по себе настолько различимы, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. Обозначить ${displaystyle v = {frac {partial g} {partial t}},}$ как однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.

• ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} Gamma _ {ij} ^ {k} = {frac {1} {2}} sum _ {p = 1} ^ {n} g ^ {kp} {Big ( } abla _ {i} v_ {jp} + abla _ {j} v_ {ip} -abla _ {p} v_ {ij} {Big)}.}$
• ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} R_ {ijkl} = {frac {1} {2}} {Big (} abla _ {j} abla _ {k} v_ {il} + abla _ {i} abla _ {l} v_ {jk} -abla _ {i} abla _ {k} v_ {jl} -abla _ {j} abla _ {l} v_ {ik} {Big)} + sum _ {p = 1 } ^ {n} {R_ {ijk}} ^ {p} v_ {pl} -sum _ {p = 1} ^ {n} {R_ {ijl}} ^ {p} v_ {pk}}$
• ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} R_ {ik} = {frac {1} {2}} {Big (} sum _ {p = 1} ^ {n} abla ^ {p} abla _ {k } v_ {ip} + abla _ {i} (имя оператора {div} v) _ {k} -abla _ {i} abla _ {k} (имя оператора {tr} _ {g} v) -Delta v_ {ik} {Big)} - сумма _ {p = 1} ^ {n} R_ {i} ^ {p} v_ {pk}}$
• ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} R = Delta (имя оператора {tr} _ {g} v) + имя оператора {div} _ {g} имя оператора {div} _ {g} v-langle v, имя оператора { Ric} angle _ {g}}$
• ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} dmu _ {g} = - {frac {1} {2}} sum _ {p = 1} ^ {n} sum _ {q = 1} ^ {n} g ^ {pq} v_ {pq}, dmu _ {g}}$
• ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} abla _ {i} abla _ {j} Phi = abla _ {i} abla _ {j} {frac {partial Phi} {partial t}} - {frac {1 } {2}} сумма _ {p = 1} ^ {n} g ^ {kp} {Big (} abla _ {i} v_ {jp} + abla _ {j} v_ {ip} -abla _ {p} v_ {ij} {большой)} {frac {частичный Phi} {частичный x ^ {k}}}}$
• ${displaystyle {frac {partial} {partial t}} Delta Phi = -langle v, operatorname {Hess} Phi angle _ {g} -g {Big (} operatorname {div} v- {frac {1} {2}} d (имя оператора {tr} _ {g} v), dPhi {Big)}}$

Главный символ

Вычисленные выше вычисления вариационной формулы определяют главный символ отображения, которое посылает псевдориманову метрику ее тензору Римана, тензору Риччи или скалярной кривизне.

• Главный символ карты ${displaystyle gmapsto operatorname {Rm} ^ {g}}$ присваивает каждому ${displaystyle xi in T_ {p} ^ {ast} M}$ отображение из пространства симметричных (0,2) -тензоров на ${displaystyle T_ {p} M}$ в пространство (0,4) -тензоров на ${displaystyle T_ {p} M,}$ данный

${displaystyle vmapsto {frac {xi _ {j} xi _ {k} v_ {il} + xi _ {i} xi _ {l} v_ {jk} -xi _ {i} xi _ {k} v_ {jl} -xi _ {j} xi _ {l} v_ {ik}} {2}}.}$

• Главный символ карты ${displaystyle gmapsto operatorname {Ric} ^ {g}}$ присваивает каждому ${displaystyle xi in T_ {p} ^ {ast} M}$ эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на ${displaystyle T_ {p} M}$ данный

${displaystyle vmapsto v (xi ^ {sharp}, cdot) otimes xi + xi otimes v (xi ^ {sharp}, cdot) - (имя оператора {tr} _ {g_ {p}} v) xi otimes xi - | xi | _ {g} ^ {2} v.}$

• Главный символ карты ${displaystyle gmapsto R ^ {g}}$ присваивает каждому ${displaystyle xi in T_ {p} ^ {ast} M}$ элемент сопряженного пространства к векторному пространству симметричных 2-тензоров на ${displaystyle T_ {p} M}$ к

${displaystyle vmapsto | xi | _ {g} ^ {2} имя оператора {tr} _ {g} v + v (xi ^ {sharp}, xi ^ {sharp}).}$

Смотрите также

• Уравнения Лиувилля
• Список формул элементарной геометрии

Рекомендации

• Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 10. Springer-Verlag, Berlin, 1987. xii + 510 с. ISBN  3-540-15279-2