Действие группы Ли - Lie group action

В дифференциальной геометрии a Действие группы Ли на коллекторе M это групповое действие по Группа Ли грамм на M это дифференцируемая карта; в частности, это непрерывное групповое действие. Вместе с действием группы Ли грамм, M называется грамм-многообразие. В типы орбит из грамм сформировать стратификацию M и это может быть использовано для понимания геометрии M.

Позволять ${ displaystyle sigma: G times M to M, (g, x) mapsto g cdot x}$ быть групповым действием. Это действие группы Ли, если оно дифференцируемо. Так, в частности, отображение орбиты ${ displaystyle sigma _ {x}: от G до M, g mapsto g cdot x}$ дифференцируема, и можно вычислить ее дифференциал в единице грамм:

{ displaystyle { mathfrak {g}} to T_ {x} M}

.

Если Икс в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , то его изображение под приведенным выше является касательный вектор в Икс и, варьируя Икс, получаем векторное поле на M; минус этого векторного поля называется фундаментальное векторное поле связана с Икс и обозначается ${ Displaystyle X ^ { #}}$ . («Минус» гарантирует, что ${ Displaystyle { mathfrak {g}} to Gamma (TM)}$ является гомоморфизмом алгебр Ли.) ядро карты можно легко показать (ср. Ложная переписка ) быть алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {x}}$ стабилизатора ${ displaystyle G_ {x}}$ (которая замкнута и, следовательно, является подгруппой Ли группы грамм.)

Позволять ${ displaystyle P to M}$ быть главным грамм-пучок. С грамм имеет тривиальные стабилизаторы в п, за ты в п, ${ displaystyle a mapsto a_ {u} ^ { #}: { mathfrak {g}} to T_ {u} P}$ - изоморфизм на подпространство; это подпространство называется вертикальное подпространство. Фундаментальное векторное поле на п таким образом вертикальный.

В целом орбитальное пространство ${ displaystyle M / G}$ не допускает структуру многообразия, поскольку, например, оно может не быть хаусдорфовым. Однако если грамм компактно, то ${ displaystyle M / G}$ хаусдорфово, и если к тому же действие свободное, то ${ displaystyle M / G}$ является многообразием (на самом деле ${ displaystyle M to M / G}$ является основным грамм-пучок.)^[1] Это следствие теорема среза. Если "свободное действие" ослабить до "конечного стабилизатора", вместо этого получится орбифолд (или же стек частных.)

Заменитель построения частного - это Строительство Бореля из алгебраической топологии: предположим грамм компактна и пусть ${ displaystyle EG}$ обозначим универсальное расслоение, которое можно считать многообразием, поскольку грамм компактно, и пусть грамм действовать на ${ displaystyle EG times M}$ по диагонали; действие бесплатное, так как это так по первому фактору. Таким образом, можно сформировать фактор-многообразие ${ Displaystyle M_ {G} = (например, times M) / G}$ . Сужение, в частности, позволяет определить эквивариантные когомологии из M; а именно, один устанавливает

{ displaystyle H_ {G} ^ {*} (M) = H _ { text {dr}} ^ {*} (M_ {G})}

,

где правая часть обозначает когомологии де Рама, что имеет смысл, поскольку ${ displaystyle M_ {G}}$ имеет структуру многообразия (отсюда и понятие дифференциальных форм).

Если грамм компактно, то любой грамм-многообразие допускает инвариантную метрику; т.е. риманова метрика, относительно которой грамм действует на M как изометрии.

Действие группы Ли - Lie group action

Смотрите также

Рекомендации