Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской - Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops

Эйлер, Лагранж и Ковалевская

В классическая механика, то прецессия из жесткое тело например, верх под влиянием сила тяжести в общем, не интегрируемая проблема. Однако есть три (или четыре) известных случая, которые интегрируемы: Эйлер, то Лагранж, а Ковалевская наверху.^[1]^[2] Помимо энергии, каждая из этих вершин включает в себя три дополнительных постоянные движения которые дают начало интегрируемость.

Волчок Эйлера описывает свободный волчок без какой-либо особой симметрии, движущийся в отсутствие каких-либо внешних крутящий момент в котором неподвижной точкой является центр гравитации. Волчок Лагранжа представляет собой симметричный волчок, в котором два момента инерция одинаковы, а центр тяжести находится на ось симметрии. Ковалевская вершина^[3]^[4] особый симметричный волчок с уникальным соотношением моменты инерции которые удовлетворяют соотношению

{ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 2I_ {3},}

То есть два момента инерции равны, третий вдвое меньше, а центр тяжести расположен в самолет перпендикулярно оси симметрии (параллельно плоскости двух равных точек). В неголономный Горячев – Чаплыгин наверх (введен Д. Горячевым в 1900 г.^[5] и интегрирован Сергей Чаплыгин в 1948 г.^[6]^[7]) также интегрируемо ( ${ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 4I_ {3}}$ ). Его центр тяжести находится в экваториальная плоскость.^[8] Доказано, что других голономных интегрируемых волчков не существует.^[9]

Гамильтонова формулировка классических волчков

Классический топ^[10] определяется тремя главными осями, определяемыми тремя ортогональными векторами ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} ^ {1}}$ , ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} ^ {2}}$ и ${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} ^ {3}}$ с соответствующими моментами инерции ${ displaystyle I_ {1}}$ , ${ displaystyle I_ {2}}$ и ${ displaystyle I_ {3}}$ . В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами вектора углового момента ${ displaystyle { vec {L}}}$ по главным осям

{ displaystyle ( ell _ {1}, ell _ {2}, ell _ {3}) = ({ vec {L}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {1 }, { vec {L}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {2}, { vec {L}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {3 })}

и z-компоненты трех главных осей,

{ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}) = ( mathbf { hat {z}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {1}, mathbf { hat {z}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {2}, mathbf { hat {z}} cdot { hat { mathbf {e}}} ^ {3 })}

Алгебра Пуассона этих переменных имеет вид

{ displaystyle { ell _ {a}, ell _ {b} } = varepsilon _ {abc} ell _ {c}, { ell _ {a}, n_ {b} } = varepsilon _ {abc} n_ {c}, {n_ {a}, n_ {b} } = 0}

Если положение центра масс определяется выражением ${ displaystyle { vec {R}} _ {cm} = (a mathbf { hat {e}} ^ {1} + b mathbf { hat {e}} ^ {2} + c mathbf { hat {e}} ^ {3})}$ , то гамильтониан волчка имеет вид

{ displaystyle H = { frac {( ell _ {1}) ^ {2}} {2I_ {1}}} + { frac {( ell _ {2}) ^ {2}} {2I_ { 2}}} + { frac {( ell _ {3}) ^ {2}} {2I_ {3}}} + mg (an_ {1} + bn_ {2} + cn_ {3}),}

Тогда уравнения движения определяются следующим образом:

{ displaystyle { dot { ell}} _ {a} = {H, ell _ {a} }, { dot {n}} _ {a} = {H, n_ {a} }}

Вершина Эйлера

В Эйлер вершина - не скрученная вершина с гамильтонианом

{ displaystyle H_ {E} = { frac {( ell _ {1}) ^ {2}} {2I_ {1}}} + { frac {( ell _ {2}) ^ {2}} {2I_ {2}}} + { frac {( ell _ {3}) ^ {2}} {2I_ {3}}},}

Четыре константы движения - это энергия ${ displaystyle H_ {E}}$ и три компонента углового момента в лабораторной системе отсчета,

{ displaystyle (L_ {1}, L_ {2}, L_ {3}) = ell _ {1} mathbf { hat {e}} ^ {1} + ell _ {2} mathbf { шляпа {e}} ^ {2} + ell _ {3} mathbf { hat {e}} ^ {3}.}

Верх Лагранжа

Топ Лагранжа^[11] (назван так в честь Жозеф-Луи Лагранж ) представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в местоположении, ${ displaystyle { vec {R}} _ {cm} = h mathbf { hat {e}} ^ {3}}$ , с гамильтонианом

{ displaystyle H_ {L} = { frac {( ell _ {1}) ^ {2} + ( ell _ {2}) ^ {2}} {2I}} + { frac {( ell _ {3}) ^ {2}} {2I_ {3}}} + mghn_ {3}.}

Четыре константы движения - это энергия ${ displaystyle H_ {L}}$ , компонента углового момента вдоль оси симметрии, ${ displaystyle ell _ {3}}$ , угловой момент в z-направление

{ displaystyle L_ {z} = ell _ {1} n_ {1} + ell _ {2} n_ {2} + ell _ {3} n_ {3},}

и масштабы п-вектор

{ displaystyle n ^ {2} = n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} + n_ {3} ^ {2}}

Ковалевская наверху

Ковалевская вершина^[3]^[4] симметричный волчок, в котором ${ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 2I}$ , ${ displaystyle I_ {3} = I}$ а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии ${ displaystyle { vec {R}} _ {cm} = h mathbf { hat {e}} ^ {1}}$ . Это было обнаружено Софья Ковалевская в 1888 году и представила в своей статье «Sur le problème de la Rotation d'un corps solide autour d'un point fixe», которая получила Приз Бордина от Французская Академия Наук в 1888 г. Гамильтониан