Теория Куммера - Kummer theory - Wikipedia

В абстрактная алгебра и теория чисел, Теория Куммера дает описание определенных типов расширения полей с участием примыкание из п-ые корни элементов базы поле. Теория была первоначально разработана Эрнст Эдуард Куммер примерно в 1840-х годах в своей новаторской работе над Последняя теорема Ферма. Основные утверждения не зависят от природы поля - кроме его характеристика, который не должен делить целое число п - и поэтому относятся к абстрактной алгебре. Теория циклических расширений поля. K когда характеристика K действительно разделяет п называется Теория Артина – Шрайера.

Теория Куммера является базовой, например, в теория поля классов и вообще в понимании абелевы расширения; он говорит, что при наличии достаточного количества корней из единицы циклические расширения можно понимать в терминах извлечения корней. Основное бремя теории поля классов - избавиться от лишних корней единства («спуск» обратно к меньшим полям); что гораздо серьезнее.

Куммер расширения

А Куммер расширение расширение поля L/K, где для некоторого заданного целого числа п > 1 у нас есть

• K содержит п отчетливый пth корни единства (т.е. корни Икс^п − 1)
• L/K имеет абелевский Группа Галуа из показатель степени п.

Например, когда п = 2, первое условие всегда выполняется, если K имеет характеристика ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения ${ Displaystyle L = К ({ sqrt {а}})}$ куда а в K неквадратный элемент. Обычным решением квадратные уравнения, любое расширение степени 2 K имеет такую ​​форму. Расширения Куммера в этом случае также включают биквадратные расширения и более общие мультиквадратичные расширения. Когда K имеет характеристику 2, таких расширений Куммера нет.

Принимая п = 3, не существует куммеровских расширений степени 3 Рациональное число поле Q, поскольку для трех кубических корней из 1 сложные числа необходимы. Если взять L быть полем расщепления Икс³ − а над Q, куда а не является кубом в рациональных числах, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1; это потому, что если α и β являются корнями кубического многочлена, мы будем иметь (α / β)³ = 1 и кубика является отделимый многочлен. потом L/K является расширением Куммера.

В более общем плане верно, что когда K содержит п отчетливый пкорней из единства, что означает, что характеристика K не делит п, затем примыкая к K то пкорень -й корень любого элемента а из K создает расширение Куммера (степени м, для некоторых м разделение п). Поскольку поле расщепления полинома Икс^п − а, расширение Куммера обязательно Галуа, с группой Галуа, циклический порядка м. Легко проследить действие Галуа через корень единства перед ${ displaystyle { sqrt [{n}] {a}}.}$

Теория Куммера предоставляет обратные утверждения. Когда K содержит п отчетливый пкорней единства, говорится, что любой абелево расширение из K деления экспоненты п образуется путем извлечения корней элементов K. Далее, если K^× обозначает мультипликативную группу ненулевых элементов K, абелевы расширения K экспоненты п биективно соответствуют подгруппам

${ Displaystyle К ^ { раз} / (К ^ { раз}) ^ {п},}$

то есть элементы K^× по модулю пй полномочия. Соответствие можно явно описать следующим образом. Учитывая подгруппу

${ displaystyle Delta substeq K ^ { times} / (K ^ { times}) ^ {n},}$

соответствующее расширение дается

${ displaystyle K left ( Delta ^ { frac {1} {n}} right),}$

куда

${ displaystyle Delta ^ { frac {1} {n}} = left {{ sqrt [{n}] {a}}: a in K ^ { times}, a cdot left ( K ^ { times} right) ^ {n} in Delta right }.}$

Фактически достаточно примыкать пкорень -й степени одного представителя каждого элемента любого набора образующих группы Δ. Наоборот, если L является куммеровским расширением K, то Δ восстанавливается по правилу

${ displaystyle Delta = left (K ^ { times} cap (L ^ { times}) ^ {n} right) / (K ^ { times}) ^ {n}.}$

В этом случае имеется изоморфизм

${ displaystyle Delta cong operatorname {Hom} _ { text {c}} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n})}$

данный

${ Displaystyle а mapsto left ( sigma mapsto { frac { sigma ( alpha)} { alpha}} right),}$

где α - любое пй корень а в L. Здесь ${ displaystyle mu _ {n}}$ обозначает мультипликативную группу пкорни единства (которые принадлежат K) и ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { text {c}} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n})}$ - группа непрерывных гомоморфизмов из ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ оснащен Топология Крулля к ${ displaystyle mu _ {n}}$ с дискретной топологией (с групповой операцией, заданной поточечным умножением). Эту группу (с дискретной топологией) также можно рассматривать как Понтрягин дуальный из ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$, если мы рассматриваем ${ displaystyle mu _ {n}}$ как подгруппа круговая группа. Если расширение L/K конечно, то ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ конечная дискретная группа, и мы имеем

${ displaystyle Delta cong operatorname {Hom} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n}) cong operatorname {Gal} (L / K),}$

однако последний изоморфизм не естественный.

Восстановление ${ displaystyle a ^ {1 / n}}$ из примитивного элемента

За ${ displaystyle p}$ премьер, пусть ${ displaystyle K}$ быть полем, содержащим ${ displaystyle zeta _ {p}}$ и ${ Displaystyle К ( бета) / К}$ градус ${ displaystyle p}$ Расширение Галуа. Обратите внимание, что группа Галуа является циклической, порожденной ${ displaystyle sigma}$. Позволять

${ Displaystyle альфа = сумма _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {l} sigma ^ {l} ( beta) in K ( beta)}$

потом

${ Displaystyle zeta _ {p} sigma ( alpha) = sum _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {l + 1} sigma ^ {l + 1} ( beta) = alpha.}$

С ${ Displaystyle альфа neq сигма ( альфа), К ( альфа) = К ( бета)}$ и

${ displaystyle alpha ^ {p} = prod _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {- l} alpha = prod _ {l = 0} ^ {p- 1} sigma ^ {l} ( alpha) = N_ {K ( beta) / K} ( alpha) in K}$.

Когда ${ displaystyle L / K}$ является абелевым расширением степени ${ Displaystyle п = prod _ {j = 1} ^ {m} p_ {j}}$ бесквадратный такой, что ${ displaystyle zeta _ {n} in K}$, примените тот же аргумент к подполям ${ Displaystyle К ( бета _ {j}) / К}$ Галуа степени ${ displaystyle p_ {j}}$ чтобы получить

${ displaystyle L = K left (a_ {1} ^ {1 / p_ {1}}, ldots, a_ {m} ^ {1 / p_ {m}} right) = K left (A ^ { 1 / p_ {1}}, ldots, A ^ {1 / p_ {m}} right) = K left (A ^ {1 / n} right)}$

куда

${ Displaystyle A = prod _ {j = 1} ^ {m} a_ {j} ^ {n / p_ {j}} in K}$.

Обобщения

Предположим, что грамм это проконечная группа действующий на модуль А с сюръективным гомоморфизмом π из грамм-модуль А себе. Предположим также, что грамм действует тривиально на ядре C π и первая группа когомологий H¹(грамм,А) тривиально. Тогда точная последовательность групповых когомологий показывает, что существует изоморфизм между А^грамм/ π (А^грамм) и Hom (грамм,C).

Теория Куммера является частным случаем этого, когда А - мультипликативная группа сепарабельного замыкания поля k, грамм - группа Галуа, π - пкарта мощности, и C группа пкорни единства. Теория Артина – Шрайера это частный случай, когда А аддитивная группа сепарабельного замыкания поля k положительной характеристики п, грамм - группа Галуа, π - Карта Фробениуса минус личность, и C конечное поле порядка п. Принимая А кольцо усеченных векторов Витта дает Виттовское обобщение теории Артина – Шрайера на расширения экспоненты, делящей п^п.

Смотрите также

• Квадратичное поле

Рекомендации

• «Куммерская пристройка», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Брайан Берч, «Циклотомические поля и расширения Куммера», в J.W.S. Cassels и А. Фрелих (edd), Алгебраическая теория чисел, Академическая пресса, 1973. Глава III, стр. 85–93.