Задача треугольника Кобона - Kobon triangle problem

Нерешенная проблема в математике:

Сколько неперекрывающихся треугольников может быть образовано при расположении

{displaystyle k}

линии?

(больше нерешенных задач по математике)

Треугольники Кобона, состоящие из 3, 4 и 5 отрезков прямых.

В Задача треугольника Кобона это нерешенная проблема в комбинаторная геометрия впервые заявлено Кобон Фуджимура. Задача запрашивает наибольшее число N(k) непересекающихся треугольников, стороны которых лежат на расположение k линии. Варианты задачи рассмотрим проективная плоскость а не евклидовой плоскости, и требуют, чтобы треугольники не пересекались никакими другими линиями расположения.^[1]

Сабуро Тамура доказано, что наибольшее целое число, не превосходящее k(k - 2) / 3 дает оценку сверху максимального числа непересекающихся треугольников, реализуемых k линий.^[2] В 2007 году Йоханнес Бадер и Жиль Клеман нашли более жесткую верхнюю границу, доказав, что верхняя граница Тамуры не может быть достигнута ни при каких условиях. k конгруэнтно 0 или 2 (mod 6).^[3] Таким образом, максимальное количество треугольников в этих случаях не более чем на один меньше, чем оценка Тамуры. Совершенные решения (решения треугольника Кобона, дающие максимальное количество треугольников) известны для k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 и 17.^[4] За k = 10, 11 и 12, лучшие известные решения достигают числа треугольников, на единицу меньшего, чем верхняя граница.

Как доказали Ж. Клеман и Ж. Бадер,^[3] решения для k > 2 ограничены сверху

{displaystyle k (k-2) / 3}

, когда k== {3, 5} (мод 6);

{displaystyle (k + 1) (k-3) / 3}

, когда k== {0, 2} (мод. 6);

{displaystyle (k ^ {2} -2k-2) / 3}

, когда k== {1, 4} (мод. 6).

(Функция пола обрабатывается, учитывая, что выражение k(k - 2) делится на 3 в первом случае и на 2 больше, чем на 3 в третьем; Клеман и Бадер только улучшили оценку среднего случая.)

Учитывая идеальное решение с k₀> 3 строки, другие числа решений треугольника Кобона могут быть найдены для всех k_я-значения, где

{displaystyle k_ {n + 1} = 2cdot k_ {n} -1,}

с использованием процедуры Д. Форджа и Дж. Л. Рамиреса Альфонсина.^[1]^[5] Например, решение для k₀ = 5 приводит к максимальному количеству непересекающихся треугольников при k = 5,9,17,33,65,...

k	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	OEIS
Верхняя граница Тамуры на N(k)	1	2	5	8	11	16	21	26	33	40	47	56	65	74	85	96	107	120	133	A032765
Верхняя граница Клемана и Бадера	1	2	5	7	11	15	21	26	33	39	47	55	65	74	85	95	107	119	133	-
самое известное решение	1	2	5	7	11	15	21	25	32	38	47	53	65	72	85	93	104	115	130	A006066