Джон Пенн Мэйберри - John Penn Mayberry - Wikipedia

Джон Пенн Мэйберри (18 ноября 1939 г. - 19 августа 2016 г.) был американским философом-математиком и создателем отличительного Аристотелевская философия математики что он выразил в своей книге Основы математики в теории множеств.^[1] После получения докторской степени в Иллинойсе под наблюдением Гайси Такеути, в 1966 году он занял должность на математическом факультете Бристольский университет. Он оставался там до выхода на пенсию в 2004 г. в качестве читателя по математике.

Философская работа

Эта секция может быть слишком долго читать и удобно ориентироваться. Пожалуйста примите к сведению расщепление содержание в подстатьях, уплотнение это или добавление подзаголовки. (Ноябрь 2020)

С одной стороны, философия Мэйберри отвергает Платонический традиция, которая считает математику трансцендентальной наукой, занимающейся открытием истин о нематериальных, но понятных, объективных сущностях, как метафизически тщеславных. Эта позиция отличает его от того, что, вероятно, является точкой зрения «молчаливого большинства» среди практикующих математиков. Роджер Пенроуз красноречиво выражает типичную платоническую позицию.

«Натуральные числа существовали до того, как на Земле появились люди или любые другие существа, и они останутся после того, как вся жизнь погибнет. Всегда было так, что каждое натуральное число представляет собой сумму четырех квадратов и ему не нужно было ждать, пока Лагранж воплотит этот факт в жизнь ».^[2]

С другой стороны, Мэйберри также категорически отвергает любое понимание математики, испорченное, как он думает, операционализмом. Он написал:

«Я считаю операционализм в математике доктриной, согласно которой основы математики должны быть открыты в деятельности (реальной или идеализированной) математиков, когда они считают, вычисляют, записывают доказательства, изобретают символы, рисуют диаграммы и так далее. …… Рассмотрению деятельности и способностей человека, реальных или идеализированных, нет места в основах математики, и мы должны приложить все усилия, чтобы исключить их из элементов, принципов и методов, на которых мы намерены основывать нашу математику ».^[3]

Самая архетипичная и широко распространенная из таких операционалистских доктрин состоит в том, что натуральные числа могут быть построены, начиная с 1, прибавляя 1, чтобы получить 2, снова прибавляя 1, чтобы получить 3 и продолжаться бесконечно. Это выражается обозначением N = 1, 2, 3 ……. где точки обозначают неопределенное повторение «прибавления 1». Принимая эти точки многоточия, человек соглашается с разборчивостью неопределенной итерации. Мэйберри не считает, что определение этого типа достаточно ясно и в достаточной степени отделено от наивных и, возможно, ошибочных интуитивных представлений о природе времени, чтобы гарантировать его включение в математику без дальнейшего обоснования. Он написал:

«Когда натуральная система счисления берется за первичные данные, что-то просто« данное », естественно рассматривать принципы доказательства посредством математической индукции и определения посредством рекурсии по этой системе как« данные ». … .. Натуральные числа, таким образом, рассматриваются как то, что мы получаем в процессе отсчета: 1,2… .. где точки многоточия «… ..» как-то говорят сами за себя - в конце концов, мы знаем как продолжать подсчет, как бы далеко мы ни зашли. Но в этих точках многоточия заключается вся загадка понятия натурального числа! .... Не следует также рассматривать операции подсчета или вычисления в качестве первичных данных: их следует анализировать с точки зрения более фундаментальных понятий. Таким образом, мы вынуждены отказаться от операционализма, который разделяют все антиканторианские школы.

Для нас, современных, числа берут свое начало от того, что мы можем с ними делать, а именно считать и вычислять: но греческие «числа» (arithmoi) были самостоятельными объектами с простой понятной природой. Наши натуральные числа - это то, что мы можем (в принципе) построить (считая до них): греческие числа просто «там», так сказать. .......

Я убежден, что эта операционалистская концепция натурального числа является центральной ошибкой, лежащей в основе всех наших размышлений об основах математики. Это не ограничивается еретиками, но разделяется ортодоксальным канторианским большинством ».^[4]

Его позиция ставит его в противоречие не только с педагогической практикой последних нескольких веков, но и с традициями, уходящими корнями в древность. В определении 4 книги V его Элементы Евклид определяет две величины одного типа, A и B, как «имеющие отношение друг к другу» следующим образом:

«Считается, что величины имеют отношение друг к другу, и при умножении они могут превосходить друг друга»^[5]

Другими словами, если повторное добавление одного из них, скажем A, к самому себе приводит к величине, превышающей другое, скажем B, то есть для некоторого натурального числа n, nA> B. И наоборот, A и B не имеют отношения друг к другу, если бесконечно повторяющееся добавление одного из них к самому себе никогда не приводит к величине, превышающей другое. В Книге V Евклид развивает общую теорию соотношений, а в Книге VI демонстрирует силу концепции отношения как для значительного упрощения выводов, приведенных в Книгах I - IV, так и для расширения области применения некоторых теорем Книг I – IV. Особенно примечательными примерами являются Книга III, предложение 35, где сразу доступно гораздо более простое доказательство с использованием подобных треугольников, и книга VI, предложение 31, где он расширяет теорему Пифагора с квадратов на общие аналогичные фигуры.

В Книге VII Евклид вводит в качестве другого типа величины наряду с его геометрическими величинами линии, угла и фигуры, понятие «арифмос». Это следует понимать как «множество единиц», где единица - это «то, что мы называем чем-то одним». С некоторыми оговорками относительно статуса синглтонов и пустого множества, греческое понятие «арифмос», таким образом, по сути является современным понятием «множество». Мэйберри отмечает, что его поразило силой откровения, что значение общего понятия 5 Евклида - «целое больше, чем часть» - в применении к арифмои состоит в том, что арифмос не может быть конгруэнтным, когда это слово понимается следующим образом. Хит как «можно поставить с точной посадкой»,^[6] к любой собственной части, или, другими словами, что множество конечно в современном смысле, когда не существует соответствия 1-1 между множеством и собственным подмножеством. Тот факт, что греческая арифметика, и в частности книги Евклида VII-IX, на самом деле является изучением конечных множеств, был затемнен повсеместным переводом «арифмоса» как «число» и преобразованием понятия числа из его первоначального «арифмоса». «Означает отношение», которое произошло в 17 веке. Преобразование смысла было ясно выражено Ньютоном в его лекциях.

«Под числом я имею в виду не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение любой Величины к другой Величине того же вида, которое мы принимаем за Единство»^[7]

Убеждения Мэйберри относительно истинной исторической последовательности событий в развитии ключевых математических концепций являются центральными для его философской ориентации. К ним его привело его чтение Джейкоб Кляйн «Греческая математическая мысль и происхождение алгебры».^[8] и Ричард Дедекинд Воспоминания "Was sind und was sollen die Zahlen".^[9]

С середины 17-го до 19-го века натуральные числа и понятие неограниченного повторения, на котором они основывались, приобрели фундаментальный статус в математике как с прагматической, так и с философской точек зрения. С философской точки зрения Кант классифицировал арифметические предложения как синтетическое априорное знание и, параллельно с аналогичным анализом геометрических теорем, который он проследил до нашей интуиции пространства, проследил их неотразимую природу до нашей интуиции времени. Общая позиция Канта в отношении арифметики получила одобрение величайших математиков-практиков XIX века. Даже Гаусс, хотя и не согласен с позицией Канта о статусе геометрии, поддержал его позицию по арифметике.

«Я все больше прихожу к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере, человеческим пониманием для человеческого понимания. Возможно, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам доступны в настоящее время. До тех пор нельзя ставить геометрию в один ряд с арифметикой, которая стоит априори, а скорее в один ряд, скажем, с механикой ».^[10]

Почти столетие спустя Пуанкаре пишет:

«В этой области арифметики мы можем думать, что очень далеки от анализа бесконечно малых, но идея математической бесконечности уже играет преобладающую роль, и без нее не было бы науки вообще, потому что не было бы ничего общего. …… Таким образом, мы не можем избежать вывода о том, что правило рассуждений путем повторения несводимо к принципу противоречия. … Это правило, недоступное аналитическому доказательству и эксперименту, является точным типом априорной синтетической интуиции ».^[11]

Из значительных фигур XIX века только Дедекинд, похоже, выступал против кантовского консенсуса. В «Was sind und was sollen die Zahlen» он холодно пишет:

«Говоря об арифметике (алгебре, анализе) как части логики, я имею в виду, что считаю понятие числа полностью независимым от понятий или интуитивных представлений о пространстве и времени».^[12]

Дедекинд, которым Мэйберри очень восхищался, показал, что натуральные числа могут быть установлены без какой-либо зависимости от кантовской интуиции времени или от бесконечно повторяющихся операций. Однако он сделал это на основе явного принятия канторовской аксиомы бесконечности, которая, как указывает Мэйберри, лучше всего понимается как простое противоречие с общим понятием 5 Евклида в применении к арифмоусам. Однако работа Дедекинда не привела к мнению, что натуральные числа и итерационные процессы имеют особый фундаментальный статус, чтобы потерять доверие среди большинства математиков. В Интуиционист Движение, разделяя с Мэйберри отказ от платонистского понимания смысла математики, прибегло к операционалистскому пониманию предмета, что привело к принятию бесконечно длительных итеративных процессов в самое сердце их мышления. Формалистское движение, следуя программе Гильберта по сохранению математических плодов канторовской аксиомы бесконечности посредством доказательств финитной непротиворечивости, аналогичным образом в самих определениях формальных систем и установлении их свойств, присвоило особый статус неопределенной итерации и связанным с ней определениям посредством рекурсии. и доказательства по индукции.

Позиция Мэйберри заключается в том, что все это, прямо из Книги V Евклида, представляет собой отклонение от истинного духа математики, примером которого является Евклид Книги I-IV. Основная цель его книги - объяснить его позицию и показать, что она не разрушает существенное содержание или современную математическую практику, но в его рекомендации более четкого аристотелевского понимания того, что из себя представляет математика, и стандарта строгости В соответствии с его более требовательным пониманием значения, он следует традиции, начатой ​​Кантором по восстановлению смысла математики после трех столетий формализма. Однако в глазах Мэйберри современная платонически вдохновленная доктрина, которая утверждает, что, скажем, надлежащие классы объективно существуют, является таким же отходом от здравого смысла и вероятной правдивости, как, скажем, формалистически вдохновленная доктрина начала 19 века, Пикок: «Принцип эквивалентности постоянных форм ”.^[13]

Положительные философские взгляды Мэйберри проистекают из его решительной приверженности небольшому количеству философских доктрин, частично вдохновленных Аристотелем, а частично размышлениями о почти двух с половиной тысячелетиях математического опыта, особенно в 19 веке.

Он является аристотелевским реалистом, в основном согласным с мнением Аристотеля о том, что математика, и в частности изучение арифметики, - это естественная наука, занимающая свое место рядом с другими научными предметами, представляющими особый интерес, такими как энтомология или орнитология, и имеющая дело с объективно существующими вещами в этом мире. Аристотель пишет:

«Универсальные утверждения в математике не касаются отделимых сущностей, находящихся за пределами величин и арифм. Они об этих вещах, но не как о таких вещах, которые имеют величину или делимы ".

(Аристотель имеет в виду, что в геометрии каждый рассматривает конкретные размеры конкретных объектов как случайные и не относящиеся к геометрии, а в арифметике аналогично игнорируется тот факт, что конкретные единицы - люди, камешки и т. Д. - на самом деле могут быть делимыми. .)

и в другом месте:

«Каждая наука занимается своей собственной областью, так что наука о здоровых - это то, что изучает что-то как здоровое, а наука о человеке - это то, что изучает что-то как человек. То же самое и с геометрией. Математические науки не собираются рассматривать воспринимаемые сущности в качестве своей области только потому, что вещи, которыми они являются, обладают случайной особенностью быть воспринимаемыми (хотя, конечно, они не изучаются как воспринимаемые). Но, с другой стороны, они также не возьмут в качестве своей области какие-либо другие сущности, отделенные от воспринимаемых ».^[14]

Наука, которой занимается Мэйберри, - это арифметика, понимаемая как в очищенной версии того смысла, который Евклид дает слову в книгах VII - IX, а также, как он утверждает, в том смысле, который дал этому слову Кантор. Первая из основных позиций Мэйберри - согласие с Аристотелем в том, что арифметик изучает вещи и определенные множества вещей как единицы и арифмы, по существу, аналогично изучению энтомологом вещей и определенных множеств вещей как насекомых и колоний насекомых. Он принимает лапидарное определение «единицы» Евклида, возражая только против перевода Хита «εκαστον των οντων» как «каждая из вещей, которые существуют» как философски перегруженные. Что касается определения «арифмоса», Мэйберри решительно префикс слова «множество» »В определении Евклида:« Арифмос - это множество, состоящее из единиц »- словом« определенный ». Под этим он подразумевает, что арифмоусы имеют определенные объективно существующие границы или пределы - не в том смысле, что арифмоиды ограничены по размеру или поддаются любой операционной процедуре, такой как отсчет, или включают в себя именно те вещи, для которых выполняется какое-либо лингвистически сформулированное условие. но только в том смысле, что для любой индивидуальной вещи верно то, что она находится либо в арифмосе, либо не в нем. В частности, соответствие Общему понятию 5 (целое больше, чем часть) не подразумевается в самом понятии «арифмос», а просто суждение о том, что все арифмои обладают этим свойством. Для множественности, определяемой соответствием некоторому условию или соответствием некоторому нарицательным существительным - например, «Arithmoi с более чем тремя единицами» или «лошади» - Мэйберри использует аристотелевское слово «вид». Вид существует просто потому, что мы можем его представить: это не объективная вещь в мире, а мысль в наших головах, тогда как вещи, которые попадают в вид, могут совпадать, а могут и не совпадать с арифмосом. Подобные замечания применимы и к другим понятиям, таким как «собственность», например бытие и порядковый номер или "глобальная функция", например операторы Power Set и Union. Мэйберри пишет:

«Существенное различие между наборами и видами состоит в том, что наборы существуют, а виды - нет. Под этим я подразумеваю, что виды - это не объекты: это фикции или виртуальные объекты ».

"Но важно помнить, что в конечном итоге - и все разговоры о глобальных функциях различных видов вопреки обратному - нет таких вещей, как глобальные функции: и когда мы говорим о таких функциях, мы, в конечном счете, говорим о наших собственных условных обозначениях для ссылки на наборы ".^[15]

Вторая из основных философских доктрин Мэйберри заключается в том, что вещи и арифмы вещей объективно существуют и являются частью ткани внешней реальности. Онтологические характеристики арифмоса в точности соответствуют его составляющим единицам. Однако задача математика не состоит в том, чтобы исследовать или размышлять о том, достаточно ли четко индивидуализированы объекты, относящиеся к определенному виду, такие как облака в небе, оттенки красного, человеческие эмоциональные состояния, люди 22-го века, чтобы составить единицы возможных arithmoi или границы множественности вещей - например, следует ли считать кентавров и русалок относящимися к виду «человеческий род»? точно ли определяется, когда заканчиваются оттенки красного и начинаются оттенки фиолетового? - достаточно четко очерчены, чтобы составлять арифм. Работа арифметика может начаться с простого предположения, что существуют объективные четко индивидуализированные вещи, которые он может принять за единицы, и определенные множества таких вещей, которые он может принять за арифмои. Мэйберри пишет:

«В представлении Аристотеля о математических числах у нас есть лучший из когда-либо изобретенных средств для объяснения фактов теоретической арифметики. В арифметических рассуждениях математик рассматривает вещи самым абстрактным и общим мыслимым образом, а именно, только постольку, поскольку они подчиняются законам тождества и различия. Он просто считает само собой разумеющимся, что есть вещи, подчиняющиеся таким законам.^[16]

и чуть позже:

«Однако числа в первоначальном смысле - арифмои - множественности, состоящие из единиц - эти вещи не похожи на« натуральные числа », простые выдумки разума, а, напротив, являются подлинными обитателями мира, независимыми от людей и их умственная деятельность; это то, что мы обязаны признать, если хотим осмыслить весь наш математический опыт ».^[17]

Третья из основных философских доктрин Мэйберри состоит в том, что сделанные определения, определенные свойства и аргументы, построенные с использованием количественных характеристик «Для всех» и «Существуют», понятны только как утверждения объективного факта, если объем каждого количественного показателя ограничен одним определенный арифмос. Так, например, если мы имеем дело с девушками в качестве единиц и знаем, как сравнивать двух девушек по признаку «умная», мы можем разумно сказать «Джоан - самая умная девочка в своем классе», но не «Джоан - самая умная». Самая умная девочка », так как последнее утверждение имеет целью дать количественную оценку всему, что относится к виду« девочка ». Эта позиция дает ему дополнительную причину отвергать основополагающие претензии двух классических аксиоматических систем первого порядка - арифметики Пеано и теории множеств Цермело-Френкеля. Он не только возражает против операционализма, присущего самому построению таких формальных систем, но он также отвергает понятность свободного использования неограниченных кванторов при формировании предикатов в схемах аксиом индукции и замещения.

Четвертая основная доктрина Мэйберри связана с его третьей. Он утверждает, что при работе с единицами и арифмоидами, то есть с вещами, мы можем беспроблемно использовать классическую логику, тогда как при работе с мыслями, такими как виды, глобальные функции, общие свойства конструкций и т. Д., Соответствующая логика является интуиционистской. В частности, если мы знаем, что предположение «Все элементы арифмоса a обладают свойством P» подразумевает абсурд, тогда мы можем законно сделать вывод, что «существует некоторый член а, x, для которого P (x) не выполняется». Однако, если мы сделаем утверждение, используя квантификатор по виду, например, «существует что-то, обладающее P» или «P имеет отношение ко всем вещам», мы больше не сообщаем об объективном факте, который должен быть либо так, либо нет. Подтверждающий такое утверждение следует понимать как утверждающий, что он имеет в виду его обоснование, т. Е. В случае универсального квантора, основания полагать, что данная любая мыслимая вещь P имеет его, или в случае экзистенциального квантора, он знает пример вида, для которого выполняется P. Поскольку утверждения, включающие неограниченные кванторы, следует понимать субъективно, ясно, что тогда принцип исключенного среднего просто недействителен. Например, если значение «Для всех вещей P имеет место»: «Я имею в виду общую конструкцию, чтобы произвести для каждой вещи аргумент, который P имеет для этой вещи», а значение «существует вещь, для которой P не имеет значения». hold "означает" я имею в виду конструкцию, позволяющую произвести вещь, для которой P не может удерживаться ". тогда я не могу обязательно утверждать, что дизъюнкция истинна, так как я могу, например, вообще не иметь в виду никаких конструкций.По этой теме Мэйберри пишет:

«Какие логические принципы должны регулировать глобальную количественную оценку? Это сложный вопрос, и я не уверен, что смогу ответить на него полностью. Но я предлагаю принять частичный ответ, а именно принцип Брауэра:

(i) Обычная (то есть то, что Брауэр называет «классической») логика - это логика конечных областей. В частности, математические законы количественной оценки применимы только тогда, когда области количественной оценки конечны. [«Конечный» здесь используется в смысле Мэйберри «определенный» или «ограниченный» - определяющая характеристика арифм.]

(ii) Утверждениям, которые требуют глобальной количественной оценки для их выражения, нельзя присвоить общепринятые значения истинности, истинные или ложные. Их можно только классифицировать как оправданные или необоснованные.

.....

Тогда, в соответствии с принципом Брауэра, утверждение «Для всех объектов x в S (x)» не является обычным («классическим») утверждением с определенным значением истинности. Это не правда или ложь, но оправдано или неоправданно.

Сказать, что такое предложение оправдано, значит сказать, что у нас есть основания утверждать, что любое предложение формы (t) истинно, где t - любое выражение, которое обозначает или может обозначать объект. С другой стороны, сказать, что утверждение необоснованно, значит просто сказать, что у нас нет таких оснований; и это не то же самое, что сказать, что у нас есть основания отрицать это ».^[18]

Пятая основная доктрина Мэйберри заключается в том, что, в целом по аналогии с постулатами Евклида для геометрии, постулаты для арифметики могут быть сформулированы, что делает их недостатком в элементах, которые, вопреки ожиданиям, создаваемым структурой Общие понятия и постулаты геометрии, действительно не содержат таких постулатов. Мэйберри выполняет эту программу в главе 4 своей книги. Его постулаты следуют в некоторой степени Евклиду по форме, но по содержанию аксиоматические идеи о множествах, вышедшие из XIX и начала XX веков. В целом аналогичные постулатам Евклида о построении круга по заданной точке и линии или построении уникальной прямой по заданным двум точкам являются постулаты, связанные с Союзом, Набором мощности и Декартовым произведением, которые постулируют глобальные конструкции, производящие новые арифмои из одного или более данных. Однако несколько иные его постулаты о замещении и понимании. Они не излагают отдельные конструкции, которые просто необходимо понять, а скорее содержат утверждения обо всех возможных конструкциях и всех мыслимых свойствах. В некотором смысле их можно понять как подтверждение существования общих мостов от мыслей к вещам. Однако оба могут, подобно постулатам о конкретных конструкциях, пониматься как «принципы конечности», подтверждающие существование новых арифм. Таким образом, «исправленный» Евклид Мэйберри будет поддерживать родственные дисциплины геометрии и арифметики с общими понятиями, применимые к обоим, дополненные двумя наборами постулатов, по одному для каждой дисциплины. Действительно, поскольку геометрия действительно полагается на понятие арифмоса - она ​​делает это даже при определении треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т. Д., Но более требовательно в некоторых предложениях, например, в Книге VI, Предложение 31, в которых содержатся утверждения об общих многоугольниках. - «исправленный» Евклид поставил изучение Арифмоза перед изучением геометрии.

Последним элементом основной философии Мэйберри является его вера в то, что в неспособности Евклида признать силу Общего понятия 5 - в применении к арифмам была упущена великая историческая возможность, и, позволив себе определение по итерации, была сделана огромная ошибка, последствия которой разветвились в истории математики. Обладая должным пониманием Общего понятия 5 и избегая повторения, «исправленный» Евклид изучал бы те части математики, которые имеют отношение к конечному - в дополнение к фактическому скромному содержанию Книг 7-9, теории натуральных чисел, конечной комбинаторика, конечная группа и теория поля и в более общем плане изучение конечных структур. Мэйберри называет эту тему евклидовой арифметикой и посвящает значительную часть своей книги развитию ее основ. Он, в частности, озабочен установлением того, в какой степени Доказательство по индукции и определение рекурсией абсолютно оправданы. Он показывает, что, в отличие от евклидовой теории арифметики, являющейся незначительной переработкой современной теории натуральных чисел, на самом деле никакое жизнеспособное понятие натуральных чисел не может быть установлено в евклидовой арифметике. Дополняя свой взгляд на евклидову арифметику, Мэйберри придерживается той точки зрения, что, подобно тому, как альтернативные геометрии были созданы путем отрицания аксиомы параллелей Евклида, альтернативная арифметика создается путем отрицания общего понятия 5 и подтверждения существования по крайней мере одного арифмоса, для которого все может поставить в соответствие 1-1 с деталью. Эта теория, которую Мэйберри предпочел бы назвать канторовской арифметикой, является, конечно, современной теорией множеств, которая показала себя способной (возможно) охватить всю математику и, в частности, геометрию, которая в евклидовом устроении приверженности Общему понятию 5 , является отдельной сестринской дисциплиной арифметики.

Философия Мэйберри стремится навязать новый стандарт, вытекающий из его онтологических и семантических убеждений, ясности и строгости в математике, который должен быть достигнут в первую очередь посредством программы систематического отделения евклидовой математики от канторианской. В евклидовом случае этот стандарт потребовал бы от специалистов, занимающихся геометрией и арифметикой, воздерживаться от всех обращений к итерационным процессам. Вследствие этого наиболее непосредственная задача в геометрии состоит в том, чтобы «исправить» Евклида, установив теоремы из Книги VI на основе методов и техник из Книг I-IV, избегая использования концепции отношения, введенной в Книге V. Для Арифметики соответствующие Задача состоит в том, чтобы установить результаты Книг VII-IX, не прибегая к той итеративной процедуре, которую Евклид допускает при определении умножения.(Книга VII, определение 15.) Для канторианской арифметики главной задачей было бы показать, что большая часть бесконечной математики - дисциплин, так или иначе вытекающих из исчисления - не требует неограниченных кванторов и, следовательно, что экземпляры Схема замены Аксиомы Цермело-Френкеля для теории множеств вовлекающие такие кванторы, не только запрещены общей философией Мэйберри, но и в любом случае технически избыточны.

Рекомендации