Интеграция по волокнам - Integration along fibers - Wikipedia

В дифференциальная геометрия, то интеграция вдоль волокон из k-форма дает ${ Displaystyle (к-м)}$ -form где м - размер волокна, полученный методом «интегрирования».

Определение

Позволять ${ displaystyle pi: E to B}$ быть пучок волокон через многообразие с компактными ориентированными волокнами. Если ${ displaystyle alpha}$ это k-форма на E, то для касательных векторов ш_я'сидел б, позволять

{ displaystyle ( pi _ {*} alpha) _ {b} (w_ {1}, dots, w_ {k-m}) = int _ { pi ^ {- 1} (b)} beta}

куда ${ displaystyle beta}$ - индуцированная топ-форма на слое ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (б)}$ ; т.е. ${ displaystyle m}$ -форма предоставлена: с ${ displaystyle { widetilde {w_ {i}}}}$ лифты ${ displaystyle w_ {i}}$ к E,

{ displaystyle beta (v_ {1}, dots, v_ {m}) = alpha (v_ {1}, dots, v_ {m}, { widetilde {w_ {1}}}, dots, { widetilde {w_ {km}}}).}

(Чтобы увидеть ${ Displaystyle б mapsto ( пи _ {*} альфа) _ {б}}$ плавный, проработанный в координатах; ср. пример ниже.)

потом ${ displaystyle pi _ {*}}$ линейная карта ${ Displaystyle Omega ^ {k} (E) to Omega ^ {k-m} (B)}$ . По формуле Стокса, если волокна не имеют границ (т.е. ${ displaystyle [d, int] = 0}$ ) карта спускается в когомологии де Рама:

{ displaystyle pi _ {*}: operatorname {H} ^ {k} (E; mathbb {R}) to operatorname {H} ^ {k-m} (B; mathbb {R}).}

Это также называется интеграцией волокна.

Теперь предположим ${ displaystyle pi}$ это связка сфер; т.е. типичное волокно - сфера. Тогда есть точная последовательность ${ displaystyle 0 к K to Omega ^ {*} (E) { overset { pi _ {*}} { to}} Omega ^ {*} (B) to 0}$ , K ядро, что приводит к длинной точной последовательности, понижающей коэффициент ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и используя ${ Displaystyle OperatorName {H} ^ {k} (B) simeq operatorname {H} ^ {k + m} (K)}$ :

{ displaystyle cdots rightarrow operatorname {H} ^ {k} (B) { overset { delta} { to}} operatorname {H} ^ {k + m + 1} (B) { overset { pi ^ {*}} { rightarrow}} operatorname {H} ^ {k + m + 1} (E) { overset { pi _ {*}} { rightarrow}} operatorname {H} ^ {k + 1} (B) rightarrow cdots}

,

называется Последовательность гизина.

Пример

Позволять ${ displaystyle pi: M times [0,1] to M}$ быть очевидной проекцией. Сначала предположим ${ Displaystyle М = mathbb {R} ^ {п}}$ с координатами ${ displaystyle x_ {j}}$ и рассмотрим k-форма:

{ displaystyle alpha = f , dx_ {i_ {1}} wedge dots wedge dx_ {i_ {k}} + g , dt wedge dx_ {j_ {1}} wedge dots wedge dx_ {j_ {k-1}}.}

Затем в каждой точке в M,

{ Displaystyle пи _ {*} ( альфа) = пи _ {*} (г , dt клин dx_ {j_ {1}} клин точки клин dx_ {j_ {k-1}}) = left ( int _ {0} ^ {1} g ( cdot, t) , dt right) , {dx_ {j_ {1}} wedge dots wedge dx_ {j_ {k-1 }}}.}

^[1]

Из этого локального расчета легко следует следующая формула: если ${ displaystyle alpha}$ есть ли k-форма на ${ displaystyle M times I,}$

{ displaystyle pi _ {*} (d alpha) = alpha _ {1} - alpha _ {0} -d pi _ {*} ( alpha)}

куда ${ displaystyle alpha _ {я}}$ это ограничение ${ displaystyle alpha}$ к ${ Displaystyle М раз {я }}$ .

В качестве приложения этой формулы пусть ${ Displaystyle f: M раз [0,1] до N}$ быть гладкой картой (рассматриваемой как гомотопия). Тогда композиция ${ displaystyle h = pi _ {*} circ f ^ {*}}$ это оператор гомотопии:

{ displaystyle d circ h + h circ d = f_ {1} ^ {*} - f_ {0} ^ {*}: Omega ^ {k} (N) to Omega ^ {k} (M ),}

что подразумевает ${ displaystyle f_ {1}, f_ {0}}$ индуцирует такое же отображение на когомологиях, факт, известный как гомотопическая инвариантность когомологий де Рама. В качестве следствия, например, пусть U быть открытым мячом в р^п с центром в начале координат и пусть ${ displaystyle f_ {t}: от U к U, x mapsto tx}$ . потом ${ displaystyle operatorname {H} ^ {k} (U; mathbb {R}) = operatorname {H} ^ {k} (pt; mathbb {R})}$ , факт, известный как Лемма Пуанкаре.

Формула проекции

Учитывая векторное расслоение π : E → B над многообразием мы говорим дифференциальную форму α на E имеет вертикально-компактную опору, если ограничение ${ Displaystyle альфа | _ { pi ^ {- 1} (б)}}$ имеет компактную опору для каждого б в B. Мы пишем ${ displaystyle Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$ для векторного пространства дифференциальных форм на E с вертикально-компактной опорой. E является ориентированный как векторное расслоение, как и раньше, мы можем определить интегрирование по слою:

{ displaystyle pi _ {*}: Omega _ {vc} ^ {*} (E) to Omega ^ {*} (B).}

Следующая формула называется формулой проекции.^[2] Мы делаем ${ displaystyle Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$ право ${ Displaystyle Omega ^ {*} (В)}$ -модуль, установив ${ Displaystyle альфа CDOT бета = альфа клин пи ^ {*} бета}$ .

Предложение — Позволять ${ displaystyle pi: E to B}$ ориентированное векторное расслоение над многообразием и ${ displaystyle pi _ {*}}$ интеграция по волокну. потом

${ displaystyle pi _ {*}}$ является ${ Displaystyle Omega ^ {*} (В)}$ -линейный; т.е. для любой формы β на B и любая форма α на E с вертикально-компактной опорой,
${ displaystyle pi _ {*} ( alpha wedge pi ^ {*} beta) = pi _ {*} alpha wedge beta.}$
Если B ориентирован как многообразие, то для любой формы α на E с вертикальной компактной опорой и любой формой β на B с компактной опорой,
${ displaystyle int _ {E} alpha wedge pi ^ {*} beta = int _ {B} pi _ {*} alpha wedge beta}$ .

Доказательство: 1. Поскольку утверждение локально, можно считать π тривиально: т.е. ${ displaystyle pi: E = B times mathbb {R} ^ {n} to B}$ это проекция. Позволять ${ displaystyle t_ {j}}$ - координаты на волокне. Если ${ Displaystyle альфа = г , dt_ {1} клин cdots клин dt_ {n} клин pi ^ {*} eta}$ , то, поскольку ${ displaystyle pi ^ {*}}$ - гомоморфизм колец,

{ displaystyle pi _ {*} ( alpha wedge pi ^ {*} beta) = left ( int _ { mathbb {R} ^ {n}} g ( cdot, t_ {1} , dots, t_ {n}) dt_ {1} dots dt_ {n} right) eta wedge beta = pi _ {*} ( alpha) wedge beta.}

Точно так же обе стороны равны нулю, если α не содержит dt. Доказательство 2. аналогично. ${ displaystyle square}$

Смотрите также

Карта трансгрессии

Примечания

^ Если ${ displaystyle alpha = g , dt wedge dx_ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx_ {j_ {k-1}}}$ , то в точке б из M, определяя ${ displaystyle partial _ {x_ {j}}}$ с их подъемниками, у нас есть:
${ Displaystyle бета ( partial _ {t}) = alpha ( partial _ {t}, partial _ {x_ {j_ {1}}}, dots, partial _ {x_ {j_ {k- 1}}}) = g (b, t)}$
и так
${ displaystyle pi _ {*} ( альфа) _ {b} ( partial _ {x_ {j_ {1}}}, dots, partial _ {x_ {j_ {k-1}}}) = int _ {[0,1]} beta = int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt.}$
Следовательно, ${ displaystyle pi _ {*} ( alpha) _ {b} = left ( int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt right) dx_ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx_ {j_ {k-1}}.}.$ Таким же расчетом ${ Displaystyle pi _ {*} ( альфа) = 0}$ если dt не появляется в α.
^ Ботт-Ту 1982, Предложение 6.15.; обратите внимание, что они используют другое определение, чем здесь, что приводит к изменению знака.