Парадокс Хуперса - Hoopers paradox - Wikipedia

Парадокс Хупера

Парадокс Хупера это фальшивый парадокс основанный на оптической иллюзии. Геометрическая фигура площадью 32 единицы делится на четыре части, которые затем собираются в прямоугольник площадью всего 30 единиц.

Объяснение

объяснение парадокса Хупера, коричневый параллелограмм является перекрывающейся областью двух треугольников

При внимательном рассмотрении можно заметить, что треугольники рассеченной формы не идентичны треугольникам в прямоугольнике. Длина более короткой стороны под прямым углом составляет 2 единицы в исходной форме, но только 1,8 единицы в прямоугольнике. Это означает, что настоящие треугольники исходной формы перекрываются в прямоугольнике. Область перекрытия представляет собой параллелограмм, диагонали и стороны которого можно вычислить с помощью теорема Пифагора.

${ displaystyle d_ {1} = { sqrt {2 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = { sqrt {5}}}$

${ displaystyle d_ {2} = { sqrt {3 ^ {2} + 10 ^ {2}}} = { sqrt {109}}}$

${ displaystyle s_ {1} = { sqrt {2 ^ {2} + 6 ^ {2}}} = { sqrt {40}}}$

${ displaystyle s_ {2} = { sqrt {1 ^ {2} + 4 ^ {2}}} = { sqrt {17}}}$

Площадь этого параллелограмма можно определить с помощью Формула Герона для треугольников. Это дает

${ displaystyle s = { frac {d_ {1} + s_ {1} + s_ {2}} {2}} = { frac {{ sqrt {5}} + { sqrt {17}} + { sqrt {40}}} {2}}}$

для половинной длины окружности треугольника (половины параллелограмма) и для площади параллелограмма

${ Displaystyle { begin {align} F & = 2 cdot { sqrt {s cdot (s-s_ {1}) cdot (s-s_ {2}) cdot (s-d_ {1})} } [5pt] & = 2 cdot { frac {1} {4}} cdot { sqrt {({ sqrt {5}} + { sqrt {17}} + { sqrt {40}) }) cdot (- { sqrt {5}} + { sqrt {17}} + { sqrt {40}}) cdot ({ sqrt {5}} - { sqrt {17}} + { sqrt {40}}) cdot ({ sqrt {5}} + { sqrt {17}} - { sqrt {40}})}} [5pt] & = 2 cdot { frac { 1} {4}} cdot { sqrt {16}} [5pt] & = 2 end {выровнено}}}$.

Таким образом, площадь перекрытия двух треугольников составляет в точности исчезнувшую площадь в 2 единицы.

История

Уильям Хупер опубликовал парадокс 1774 года в своей книге Рациональные развлечения в котором он назвал это Геометрические деньги. В издании 1774 года его книги все еще был фальшивый рисунок, который был исправлен в издании 1782 года. Однако Хупер не был первым, кто опубликовал это геометрическое заблуждение, поскольку книга Хупера была в значительной степени адаптацией Эдме-Жиль Гийо с Nouvelles récréations Physiques et Mathétiques, который был опубликован во Франции в 1769 году. Описание в этой книге содержит тот же фальшивый рисунок, что и в книге Хупера, но оно было исправлено и в более позднем издании.

Рекомендации

• Мартин Гарднер: Математика, магия и тайна. Курьер (Дувр), 1956 г. ISBN  9780486203355, С. 129–155
• Грег Н. Фредериксон: Разделы: плоскость и фантазия. Издательство Кембриджского университета, 2003 г., ISBN  9780521525824, глава 23, стр. 268–277, в частности стр. 271–274 (онлайн-обновление до главы 23 )
• Саймон Во время: Современные чары: культурная сила светской магии. Издательство Гарвардского университета, 2004 г., ISBN  978-0674013711, п. 87
• Уильям Хупер: Рациональные развлечения. Лондон, 1774, стр. 286–287 (ошибочное 1-е издание)
• Уильям Хупер: Рациональные развлечения. Лондон, 1782, стр. 286–287 (исправленное 2-е издание)

внешняя ссылка

• Парадокс Хупера: как это возможно? auf cut-the-knot.org
• Мариано Томатис: Проклятие хрустальных черепов и другие головоломки с исчезновением