Гармонический конъюгат - Harmonic conjugate

В математика, действительная функция ${ Displaystyle и (х, у)}$ определено на подключенном открытом множестве ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {2}}$ как говорят, имеет сопряженную (функцию) ${ Displaystyle v (х, у)}$ тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфная функция ${ displaystyle f (z)}$ комплексной переменной ${ displaystyle z: = x + iy in Omega.}$ То есть, ${ displaystyle v}$ сопряжен с ${ displaystyle u}$ если ${ Displaystyle f (z): = u (x, y) + iv (x, y)}$ голоморфен на ${ displaystyle Omega.}$ Как первое следствие определения, они оба гармонический действительные функции на ${ displaystyle Omega}$. Более того, сопряженная с ${ displaystyle u,}$ если он существует, уникален с точностью до аддитивной константы. Также, ${ displaystyle u}$ сопряжен с ${ displaystyle v}$ если и только если ${ displaystyle v}$ сопряжен с ${ displaystyle -u}$.

Описание

Эквивалентно ${ displaystyle v}$ сопряжен с ${ displaystyle u}$ в ${ displaystyle Omega}$ если и только если ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ удовлетворить Уравнения Коши – Римана в ${ displaystyle Omega.}$ Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если ${ displaystyle u}$ - любая гармоническая функция на ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {2},}$ функция ${ displaystyle u_ {y}}$ сопряжен с ${ displaystyle -u_ {x},}$ так как тогда уравнения Коши – Римана просто ${ displaystyle Delta u = 0}$ и симметрия смешанных производных второго порядка, ${ displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}.}$ Следовательно, гармоническая функция ${ displaystyle u}$ допускает сопряженную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция ${ displaystyle g (z): = u_ {x} (x, y) -iu_ {y} (x, y)}$ имеет примитивный ${ displaystyle f (z)}$ в ${ displaystyle Omega,}$ в этом случае конъюгат ${ displaystyle u}$ это, конечно, ${ displaystyle mathrm {Im} f (x + iy).}$ Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию, если ее область определения односвязный, и в любом случае он допускает сопряжение локально в любой точке своей области определения.

Есть оператор, принимающий гармоническую функцию ты в односвязном регионе в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ своему гармоническому сопряженному v (например, v(Икс₀) = 0 на заданном Икс₀ чтобы зафиксировать неопределенность сопряженного с точностью до констант). Это хорошо известно в приложениях как (по сути) Преобразование Гильберта; это также основной пример в математический анализ, в связи с сингулярные интегральные операторы. Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров Преобразование Бэклунда (два УЧП и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейное; более сложные преобразования представляют интерес солитоны и интегрируемые системы.

Геометрически ты и v связаны как имеющие ортогональные траектории, вдали от нулей основной голоморфной функции; контуры, на которых ты и v постоянный крест на прямые углы. В этом отношении, u + iv будет комплексный потенциал, куда ты это потенциальная функция и v это функция потока.

Примеры

Например, рассмотрим функцию

${ Displaystyle и (х, у) = е ^ {х} грех у.}$

С

${ Displaystyle { partial u over partial x} = e ^ {x} sin y, quad { partial ^ {2} u over partial x ^ {2}} = e ^ {x} грех у}$

и

${ displaystyle { partial u over partial y} = e ^ {x} cos y, quad { partial ^ {2} u over partial y ^ {2}} = - e ^ {x} sin y,}$

это удовлетворяет

${ Displaystyle Delta и = набла ^ {2} и = 0}$

(${ displaystyle Delta}$ это Оператор Лапласа ) и поэтому гармоничен. Теперь предположим, что у нас есть ${ Displaystyle v (х, у)}$ такие, что выполняются уравнения Коши – Римана:

${ displaystyle { partial u over partial x} = { partial v over partial y} = e ^ {x} sin y}$

и

${ displaystyle { partial u over partial y} = - { partial v over partial x} = e ^ {x} cos y.}$

Упрощение,

${ displaystyle { partial v over partial y} = e ^ {x} sin y}$

и

${ displaystyle { partial v over partial x} = - e ^ {x} cos y}$

который при решении дает

${ displaystyle v = -e ^ {x} cos y + C.}$

Обратите внимание, что если функции, связанные с ты и v были заменены местами, функции не были бы гармонически сопряженными, так как знак минус в уравнениях Коши – Римана делает соотношение асимметричным.

В конформное отображение собственностью аналитические функции (в точках, где производная не равна нулю) вызывает геометрическое свойство гармонических сопряжений. Ясно, что гармоническое сопряжение Икс является у, а линии постоянных Икс и постоянный у ортогональны. Конформность говорит, что контуры постоянного ты(Икс,у) и v(Икс,у) также будут ортогональными в месте пересечения (вдали от нулей ж′(z)). Это означает, что v конкретное решение ортогональная траектория задача для семейства контуров, заданных ты (не единственное решение, естественно, так как мы можем брать также функции v): вопрос, восходящий к математике семнадцатого века, о нахождении кривых, которые пересекают данное семейство непересекающихся кривых в прямые углы.

Гармоническое сопряжение в геометрии

Существует дополнительное вхождение термина гармоническое сопряжение в математика, а точнее в проективная геометрия. Две точки А и B как говорят гармонические конъюгаты друг друга относительно другой пары точек CD если перекрестное соотношение (ABCD) = –1.

Рекомендации

• Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэль В. (1996). Сложные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.61. ISBN  0-07-912147-0. Если две заданные функции ты и v гармоничны в области D а их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) на всем протяжении D, v считается гармоническое сопряжение из ты.

внешняя ссылка

• Коэффициент гармоник
• «Сопряженные гармонические функции», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]