H-кобордизм - h-cobordism - Wikipedia

В геометрическая топология и дифференциальная топология, an (п + 1) -мерный кобордизм W между п-размерный коллекторы M и N является час-кобордизмчас означает гомотопическая эквивалентность ), если включение отображает

являются гомотопическими эквивалентностями.

В час-теорема -кобордизм дает достаточные условия для час-кобордизм быть тривиальным, т. е. быть C-изоморфен цилиндру M × [0, 1]. Здесь C относится к любой из категорий гладкий, кусочно-линейный, или же топологический коллекторы.

Теорема была впервые доказана Стивен Смейл за что он получил Медаль Филдса и является фундаментальным результатом теории многомерных многообразий. Во-первых, это практически сразу доказывает обобщенная гипотеза Пуанкаре.

Фон

До того, как Смейл доказал эту теорему, математики застряли в попытках понять многообразия размерности 3 или 4 и предположили, что многомерные случаи были еще сложнее. В часТеорема -кобордизма показала, что (односвязные) многообразия размерности не менее 5 намного проще, чем многообразия размерности 3 или 4. Доказательство теоремы зависит от "Уитни уловка " из Хасслер Уитни, который геометрически распутывает гомологически запутанные сферы дополнительной размерности в многообразии размерности> 4. Неформальная причина того, почему многообразия размерности 3 или 4 необычно сложны, заключается в том, что трюк не работает в более низких измерениях, в которых нет места для распутывания.

Точное изложение час-теорема -кобордизм

Позволять п быть не меньше 5 и пусть W быть компактным (п + 1) -мерный час-кобордизм между M и N в категории C=Diff, PL, или же Вершина такой, что W, M и N находятся односвязный, тогда W является C-изоморфен M × [0, 1]. Изоморфизм можно выбрать тождественным на M × {0}.

Это означает, что гомотопическая эквивалентность между M, W и N гомотопна C-изоморфизм.

Меньшие размерные версии

За п = 4, часТеорема -кобордизма верна топологически (доказано Майкл Фридман используя 4-мерный трюк Уитни), но является ложным PL и гладким (как показано Саймон Дональдсон ).

За п = 3, часТеорема -кобордизма для гладких многообразий не доказана и в силу трехмерности Гипотеза Пуанкаре, эквивалентно труднооткрытому вопросу о том, имеет ли 4-сфера нестандартные гладкие конструкции.

За п = 2, частеорема -кобордизма эквивалентна Гипотеза Пуанкаре заявлено Пуанкаре в 1904 г. (один из Проблемы тысячелетия[1]) и было доказано Григорий Перельман в серии из трех статей в 2002 и 2003 гг.,[2][3][4] где он следует Ричард С. Гамильтон программа, использующая Риччи поток.

За п = 1, часТеорема о -кобордизме пусто верна, поскольку не существует замкнутого односвязного одномерного многообразия.

За п = 0, часТеорема о -кобордизме тривиально верна: интервал является единственным связным кобордизмом между связными 0-многообразиями.

Контрольный эскиз

А Функция Морса вызывает обрабатывать разложение из W, т.е. если имеется единственная критическая точка индекса k в , то восходящий кобордизм получается из прикрепив k-ручка. Цель доказательства - найти декомпозицию ручки без ручек вообще так, чтобы интегрировать ненулевое градиентное векторное поле ж дает искомый диффеоморфизм тривиальному кобордизму.

Это достигается с помощью ряда приемов.

1) Перестановка ручки

Во-первых, мы хотим переставить все дескрипторы по порядку, чтобы первыми были прикреплены дескрипторы более низкого порядка. Таким образом, вопрос в том, когда мы можем сдвинуть я- справиться с j-ручка? Это можно сделать с помощью радиальной изотопии, пока я прикрепляющая сфера и j пояс сферы не пересекаются. Таким образом, мы хотим что эквивалентно .

Затем мы определяем комплекс цепочек ручек позволяя - свободная абелева группа на k-Ручки и определение отправив k-ручка к , куда это номер пересечения k-крепляющая сфера и (k - 1) -ленточная сфера.

2) Обработка отмены

Далее мы хотим «отменить» дескрипторы. Идея состоит в том, чтобы прикрепить k-ручка может образоваться дыра, которую можно заполнить, прикрепив (k + 1) -ручка . Это означало бы, что и так запись в матрице было бы . Однако когда этого условия достаточно? То есть, когда мы можем геометрически отменить дескрипторы, если это условие истинно? Ответ заключается в тщательном анализе того, когда коллектор остается односвязным после удаления соответствующих крепежных и ременных сфер, и нахождения встроенного диска с помощью Уитни уловка. Этот анализ приводит к требованию, чтобы п должно быть не меньше 5. Кроме того, при доказательстве требуется, чтобы кобордизм не имел 0-, 1-,п-, или же (п + 1) -ручки, получаемые по следующей методике.

3) Управляйте торговлей

Идея ручной торговли состоит в том, чтобы создать отменяющую пару (k + 1) - и (k + 2) - обрабатывает так, чтобы заданное k-handle отменяется с помощью (k + 1) - ручка, оставляющая (k + 2) -ручка. Для этого рассмотрим ядро k-handle, который является элементом в . Эта группа тривиальна, поскольку W является час-кобордизм. Таким образом, получается диск которую мы можем при желании увеличить до отменяющей пары, если мы можем вставить этот диск в границу W. Это вложение существует, если . Поскольку мы предполагаем п не меньше 5, это означает, что k равен 0 или 1. Наконец, рассматривая отрицательное значение данной функции Морса, -ж, мы можем перевернуть декомпозицию ручки вверх ногами, а также удалить п- и (п + 1) - обрабатывает по желанию.

4) Ручка раздвижная

Наконец, мы хотим убедиться, что выполнение операций со строками и столбцами соответствует геометрической операции. В самом деле, нетрудно показать (лучше всего, нарисовав картинку), что скольжение k-ручка над другим k-ручка заменяет к в основе .

Доказательство теоремы теперь следует: цепной комплекс ручек точен, поскольку . Таким образом так как свободны. потом , который является целочисленной матрицей, ограничивается обратимым морфизмом, который, таким образом, может быть диагонализован с помощью элементарных операций со строками (перемещение ручки) и должен иметь только по диагонали, потому что он обратимый. Таким образом, все дескрипторы объединены с одним другим дескриптором отмены, что дает декомпозицию без дескрипторов.

В s-теорема -кобордизм

Если предположить, что M и N односвязны отпадает, час-кобордизмы не обязательно должны быть цилиндрами; препятствие в точности Кручение белой головки τ (W, M) включения .

Именно s-теорема -кобордизмs означает простая гомотопическая эквивалентность ), независимо доказанные Барри Мазур, Джон Столлингс, и Деннис Барден, утверждает (предположения такие же, как и выше, но где M и N не обязательно просто подключать):

An час-кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда Кручение белой головки τ (W, M) исчезает.

Кручение обращается в нуль тогда и только тогда, когда включение не просто гомотопическая эквивалентность, а простая гомотопическая эквивалентность.

Обратите внимание, что не нужно предполагать, что другое включение также является простой гомотопической эквивалентностью, что следует из теоремы.

Категорически, час-кобордизмы образуют группоид.

Тогда более тонкое изложение sтеорема -кобордизма состоит в том, что классы изоморфизма этого группоида (с точностью до C-изоморфизм час-кобордизмы) являются торсоры для соответствующих[5] Группы Уайтхеда Wh (π), где

Смотрите также

Примечания

  1. ^ "Проблемы тысячелетия | Институт математики Глины". www.claymath.org. Получено 2016-03-30.
  2. ^ Перельман, Гриша (11.11.2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv:математика / 0211159.
  3. ^ Перельман, Гриша (10.03.2003). «Поток Риччи с операцией на трехмерных многообразиях». arXiv:математика / 0303109.
  4. ^ Перельман, Гриша (17.07.2003). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv:математика / 0307245.
  5. ^ Обратите внимание, что идентификация групп Уайтхеда различных многообразий требует выбора базовых точек. и путь в W соединяя их.

Рекомендации

  • Фридман, Майкл Х; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий. Принстонский математический ряд. 39. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08577-3. (Это соответствует теореме для топологических 4-многообразий.)
  • Милнор, Джон, Лекции по теореме о h-кобордизме, примечания Л. Зибенмана и Дж. Сондоу, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1965. v + 116 с. Это дает доказательство для гладких многообразий.
  • Рурк, Колин Патрик; Сандерсон, Брайан Джозеф, Введение в кусочно-линейную топологию, Springer Study Edition, Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN  3-540-11102-6. Это доказывает теорему для PL-многообразий.
  • С. Смейл, "О структуре многообразий" Амер. J. Math., 84 (1962), стр. 387–399
  • Рудяк, Ю.Б. (2001) [1994], "ч-кобордизм", Энциклопедия математики, EMS Press