Гипотезы Гринберга - Greenbergs conjectures - Wikipedia

Гипотеза Гринберга одна из двух гипотез в алгебраическая теория чисел предложено Ральф Гринберг. По состоянию на 2020 год оба вопроса все еще не решены.

Гипотеза инвариантов

Первая гипотеза была выдвинута в 1976 г. и касается Ивасава инварианты. Эта гипотеза связана с Гипотеза Вандивера, Гипотеза Леопольдта, Гипотеза Берча – Тейта, все из которых также нерешены.

Гипотеза, также называемая Гипотеза инвариантов Гринберга, впервые появился у Гринберга Университет Принстона Тезис 1971 г. и первоначально заявил, что, предполагая, что ${ displaystyle F}$ это поле полностью действительных чисел и это ${ Displaystyle F _ { infty} / F}$ циклотомический ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ -расширение, ${ Displaystyle лямбда (F _ { infty} / F) = mu (F _ { infty} / F) = 0}$ , т.е. мощность ${ displaystyle p}$ деление количества классов ${ displaystyle F_ {n}}$ ограничено как ${ Displaystyle п rightarrow infty}$ . Обратите внимание, что если Гипотеза Леопольдта относится к ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle p}$ , единственный ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ -расширение ${ displaystyle F}$ циклотомический (поскольку он вполне реален).

В 1976 году Гринберг расширил гипотезу, предоставив для нее больше примеров и слегка переформулировал ее следующим образом: учитывая, что ${ displaystyle k}$ является конечным расширением ${ displaystyle mathbf {Q}}$ и это ${ displaystyle ell}$ фиксированное простое число с учетом подполей цикломтомических расширений ${ displaystyle k}$ , можно определить башню числовых полей ${ displaystyle k = k_ {0} subset k_ {1} subset k_ {2} subset cdots subset k_ {n} subset cdots}$ такой, что ${ displaystyle k_ {n}}$ является циклическим расширением ${ displaystyle k}$ степени ${ displaystyle ell ^ {n}}$ . Если ${ displaystyle k}$ совершенно реально, это сила ${ displaystyle l}$ деление количества классов ${ displaystyle k_ {n}}$ ограничен как ${ Displaystyle п rightarrow infty}$ ? Сейчас если ${ displaystyle k}$ - произвольное числовое поле, то существуют целые числа ${ displaystyle lambda}$ , ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle nu}$ такая, что сила ${ displaystyle ell}$ деление количества классов ${ displaystyle k_ {n}}$ является ${ Displaystyle ell ^ {е_ {п}}}$ , куда ${ displaystyle e_ {n} = { lambda} n + mu ^ { ell _ {n}} + nu}$ для всех достаточно больших ${ displaystyle n}$ . Целые числа ${ displaystyle lambda}$ , ${ displaystyle mu}$ , ${ displaystyle nu}$ зависеть только от ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle ell}$ . Затем мы спрашиваем: есть ли ${ displaystyle lambda = mu = 0}$ за ${ displaystyle k}$ полностью реальный?

Проще говоря, гипотеза спрашивает, есть ли у нас ${ Displaystyle му _ { ell} (к) = лямбда _ { ell} (к) = 0}$ для любого полностью действительного числового поля ${ displaystyle k}$ и любое простое число ${ displaystyle ell}$ , или гипотезу также можно переформулировать, задав вопрос, являются ли оба инварианта λ и µ связанные с круговоротом ${ displaystyle Z_ {p}}$ -расширение поля вполне вещественных чисел обращается в нуль.

В 2001 году Гринберг обобщил эту гипотезу (таким образом, сделав ее известной как Псевдо-нулевая гипотеза Гринберга или, иногда, как Обобщенная гипотеза Гринберга):

Предполагая, что ${ displaystyle F}$ является полностью действительным числовым полем и что ${ displaystyle p}$ простое число, пусть ${ displaystyle { tilde {F}}}$ обозначают совокупность всех ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ -расширения ${ displaystyle F}$ . Позволять ${ displaystyle { tilde {L}}}$ обозначают про- ${ displaystyle p}$ Поле классов Гильберта из ${ displaystyle { tilde {F}}}$ и разреши ${ displaystyle { tilde {L}} = operatorname {Gal} ({ tilde {F}} / { tilde {L}})}$ , рассматриваемый как модуль над кольцом ${ displaystyle { tilde { Lambda}} = { mathbb {Z} _ {p}} [[ operatorname {Gal} ({ tilde {F}} / F)]]}$ . потом ${ displaystyle { tilde {X}}}$ псевдо-нуль ${ displaystyle { tilde { Lambda}}}$ -модуль.

Возможная переформулировка: Пусть ${ displaystyle { tilde {k}}}$ быть составной частью всех ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ -расширения ${ displaystyle k}$ и разреши ${ displaystyle operatorname {Gal} ({ tilde {k}} / k) simeq mathbb {Z} _ {p} ^ {n}}$ , тогда ${ displaystyle Y _ { tilde {k}}}$ псевдо-нуль ${ displaystyle Lambda _ {n}}$ -модуль.

Существует еще одна связанная гипотеза (также пока не решенная):

У нас есть ${ Displaystyle му _ { ell} (к) = 0}$ для любого числового поля ${ displaystyle k}$ и любое простое число ${ displaystyle ell}$ .

Это родственное предположение было обосновано Брюсом Ферреро и Ларри Вашингтон, оба из которых доказали (см .: Теорема Ферреро – Вашингтона ) который ${ Displaystyle му _ { ell} (к) = 0}$ для любого абелевого расширения ${ displaystyle k}$ поля рациональных чисел ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и любое простое число ${ displaystyle ell}$ .

п-гипотеза рациональности

Еще одна гипотеза, которую можно назвать Гипотеза Гринберга, был предложен Гринбергом в 2016 году и известен как Гринберга ${ displaystyle p}$ -гипотеза рациональности который утверждает, что для любого нечетного простого числа ${ displaystyle p}$ и для любого ${ displaystyle t}$ , существует ${ displaystyle p}$ -рациональное поле ${ displaystyle K}$ такой, что ${ Displaystyle OperatorName {Gal} (K / mathbb {Q}) cong ( mathbb {Z} / mathbb {2Z}) ^ {t}}$ . Эта гипотеза связана с Обратная задача Галуа.

дальнейшее чтение

Р. Гринберг, О некоторых вопросах, касающихся инвариантов Ивасавы, Диссертация Принстонского университета (1971)
Р. Гринберг, "Об инвариантах Ивасавы вполне вещественных числовых полей", Американский журнал математики, выпуск 98 (1976), стр. 263–284
Р. Гринберг, "Теория Ивасавы - прошлое и настоящее", Углубленное изучение чистой математики, выпуск 30 (2001), стр. 335–385
Р. Гринберг, "Представления Галуа с открытым изображением", Математические Анналы Квебека, том 40, номер 1 (2016), стр. 83–119
Б. Ферреро и Л. К. Вашингтон, "Инвариант Ивасавы". ${ displaystyle mu _ {p}}$ Исчезает для абелевых числовых полей », Анналы математики (Вторая серия), том 109, номер 2 (май 1979 г.), стр. 377–395