Теорема Грама – Эйлера - Gram–Euler theorem

В геометрия, то Теорема Грама – Эйлера обобщает формула суммы внутренних углов к многомерному многогранники.

утверждение

Позволять ${ displaystyle P}$ быть ${ displaystyle n}$-размерный выпуклый многогранник. Для каждого ячейка ${ displaystyle E}$, позволять ${ displaystyle dim (E)}$ - его размерность (0 для вершин, 1 для ребер, 2 для граней и т. д.), и ${ displaystyle angle (E)}$ быть его внутренним телесный угол, определяется выбором достаточно маленького ${ Displaystyle (п-1)}$-сфера сосредоточены в какой-то точке внутри ${ displaystyle E}$ и нахождение площади поверхности внутри ${ displaystyle P}$. Потом, ${ textstyle sum _ {E in operatorname {Cells} (P)} (- 1) ^ { dim (E)} angle (E) = 0}$.^[1]

Примеры

Для многоугольник ${ displaystyle P}$ с участием ${ displaystyle n}$ сторон, имеется одна грань (весь многоугольник), имеющая внутренний угол ${ displaystyle 2 pi}$, и ${ displaystyle n}$ края, каждая из которых имеет внутренний угол ${ displaystyle pi}$. Позволять ${ displaystyle A}$ быть суммой внутренних углов углов. Теорема Грама-Эйлера говорит нам, что ${ Displaystyle А- пи п + 2 пи = 0}$, или эквивалентно, ${ Displaystyle А = пи (п-2)}$.

использованная литература