Госсард перспективный - Gossard perspector

В геометрия то Госсард перспективный[1] (также называемый Зееман – Госсард перспективный[2]) - особая точка, связанная с самолет треугольник. Это центр треугольника и он обозначен как X (402) в Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников. Пункт получил название Госсард перспективный от Джон Конвей в 1998 году в честь Гарри Клинтон Госсард который обнаружил его существование в 1916 году. Позже выяснилось, что эта точка появилась в статье Кристофера Зеемана, опубликованной в период 1899 - 1902 годов. Начиная с 2003 года Энциклопедия треугольных центров называет эту точку Зееман – Госсард перспективный.[2]

Определение

ЧАС, ЧАСА, ЧАСB, ЧАСC, ЧАСг находятся ортоцентры, и г, гА, гB, гC, гг центроиды треугольников ABC, AEF, BFD, CDE, АгBгCг соответственно.

Треугольник Госсара

Позволять ABC быть любым треугольником. Пусть Линия Эйлера треугольника ABC встретиться на обочине до н.э, CA и AB треугольника ABC в D, E и F соответственно. Позволять АгBгCг - треугольник, образованный прямыми Эйлера треугольников AEF, BFD и CDE, вершина Аг являясь пересечением линий Эйлера треугольников BFD и CDE, и аналогично для двух других вершин. Треугольник АгBгCг называется Треугольник Госсара треугольника ABC.[3]

Госсард перспективный

Позволять ABC быть любым треугольником и пусть АгBгCг быть его треугольником Госсара. Тогда строки AAг, BBг и CCг совпадают. Точка совпадения называется Госсард перспективный треугольника ABC.

Свойства

  • Позволять АгBгCг быть треугольником Госсарда треугольника ABC. Линии BгCг, CгАг и АгBг соответственно параллельны линиям до н.э, CA и AB.[4]
  • Любой треугольник и его треугольник Госсарда конгруэнтны.
  • Любой треугольник и его треугольник Госсарда имеют одну и ту же линию Эйлера.
  • Треугольник Госсарда треугольника ABC это отражение треугольника ABC в перспективе Госсарда.

Трилинейные координаты

В трилинейные координаты перспективы треугольника Госсарда ABC находятся

( ж ( а, б, c ) : ж ( б, c, а ) : ж ( c, а, б ) )

где

ж ( а, б, c ) = п ( а, б, c ) y ( а, б, c ) / а

где

п ( а, б, c ) = 2а4 − а2б2 − а2c2 − ( б2 − c2 )2

и

y ( а, б, c ) = а8 − а6 ( б2 + c2 ) + а4 ( 2б2 − c2 ) ( 2c2 − б2 ) + ( б2 − c2 )2 [ 3а2 ( б2 + c2 ) − б4 − c4 − 3б2c2 ]
На рисунке DEF линия Эйлера треугольника ABC. Линия XYZ движется параллельно линии DEF. Треугольник A'B'C ' остается конгруэнтно треугольнику ABC какова бы ни была позиция линии XYZ. Синий «перевернутый» треугольник - это треугольник Госсарда треугольника. ABC.

Обобщения

Конструкция, дающая треугольник Госсарда треугольника ABC можно обобщить для создания треугольников A'B'C ' которые конгруэнтны треугольнику ABC и чьи стороны параллельны сторонам треугольника ABC.

Обобщение 1

Этот результат принадлежит Кристоферу Зееману.[4]

Позволять л быть любой линией, параллельной Линия Эйлера треугольника ABC. Позволять л пересекать боковые линии до н.э, CA, AB треугольника ABC в Икс, Y, Z соответственно. Позволять A'B'C ' - треугольник, образованный прямыми Эйлера треугольников AYZ, BZX и CXY. Тогда треугольник A'B'C ' конгруэнтно треугольнику ABC и его стороны параллельны сторонам треугольника ABC.[4]

Обобщение 2

Обобщение Пола Юй треугольника Госсарда.

Это обобщение принадлежит Полю Ю.[1][5]

Позволять п быть любой точкой в ​​плоскости треугольника ABC отличается от его центра тяжести г.

Пусть линия PG встретиться на обочине до н.э, CA и AB в Икс, Y и Z соответственно.
Пусть центроиды треугольников AYZ, BZX и CXY быть га, гб и гc соответственно.
Позволять па быть такой, что YPа параллельно CP и ZPа параллельно BP.
Позволять пб быть такой, что ZPб параллельно AP и XPб параллельно CP.
Позволять пc быть такой, что XPc параллельно BP и YPc параллельно AP.
Позволять A'B'C ' быть треугольником, образованным линиями гапа, гбпб и гcпc.

Тогда треугольник A'B'C ' конгруэнтно треугольнику ABC и его стороны параллельны сторонам треугольника ABC.

Когда п совпадает с ортоцентром ЧАС треугольника ABC затем линия PG совпадает с линией Эйлера треугольника ABC. Треугольник A'B'C ' совпадает с треугольником Госсарда АгBгCг треугольника ABC.

Обобщение 3

Позволять ABC быть треугольником. Позволять ЧАС и О будет две точки, и пусть линия HO встречает BC, CA, AB в А0, B0, С0 соответственно. Позволять АЧАС и АО две точки такие, что C0АЧАС параллельно BH, B0АЧАС параллельно CH и C0АО параллельно BO, B0АО параллельно CO. Определить BЧАС, BО, СЧАС, СО циклически. Тогда треугольник, образованный линиями АЧАСАО, BЧАСBО, СЧАСCО и треугольник ABC гомотетичны и конгруэнтны, а гомотетический центр лежит на линии ОЙ. [6] Если ОЙ любая прямая, проходящая через центр тяжести треугольника ABC, эта проблема является обобщением Юи теоремы о перспективах Госсарда.[6]

использованная литература

  1. ^ а б Кимберлинг, Кларк. "Госсард Перспектор". Архивировано из оригинал 10 мая 2012 г.. Получено 17 июн 2012.
  2. ^ а б Кимберлинг, Кларк. "X (402) = Zeemann-Gossard перспектива". Энциклопедия центров треугольников. Архивировано из оригинал 19 апреля 2012 г.. Получено 17 июн 2012.
  3. ^ Кимберлинг, Кларк. "Гарри Клинтон Госсард". Архивировано из оригинал 22 мая 2013 г.. Получено 17 июн 2012.
  4. ^ а б c Хациполакис, Антреас П. "Сообщение Гиацинта № 7564". Получено 17 июн 2012.
  5. ^ Гринберг, Дарий. "Послание Гиацита № 9666". Получено 18 июн 2012.
  6. ^ а б Дао Тхань Оай, Обобщение теоремы о перспективах Зеемана-Госсарда, Международный журнал компьютерной математики, том 1, (2016), выпуск 3, стр. 76-79, ISSN  2367-7775