Глобальный элемент - Global element

В теория категорий, а глобальный элемент объекта А из категория это морфизм

{displaystyle hcolon 1 o A,}

где $1$ это конечный объект категории.^[1] Грубо говоря, глобальные элементы - это обобщение понятия «элементы» из категория наборов, и их можно использовать для импорта теоретико-множественных концепций в теорию категорий. Однако, в отличие от множества, объект общей категории не обязательно должен определяться его глобальными элементами (даже не вплоть до изоморфизм ). Например, конечный объект категории Grph из гомоморфизмы графов имеет одну вершину и одно ребро, петлю,^[2] откуда глобальные элементы графа являются его петлями, не передающими никакой информации ни о других типах ребер, ни о вершинах, не имеющих петли, ни о том, имеют ли две самопетли общую вершину.

В элементарные топосы глобальные элементы классификатор подобъектов $Ω$ образуют алгебру Гейтинга, когда упорядочиваются включением соответствующих подобъектов конечного объекта.^[3] Например, Grph оказывается топосом, классификатор подобъектов которого $Ω$ является двухвершинным направленным клика с дополнительной петлей (то есть пять ребер, три из которых являются петлями и, следовательно, глобальные элементы $Ω$ ). Внутренняя логика Grph поэтому основан на трехэлементном Алгебра Гейтинга как его ценности истины.

А четко обозначенная категория - это категория, в которой достаточно глобальных элементов, чтобы различать каждые две стрелки. То есть для каждой пары различных стрелок $А \to B$ в категории должен существовать глобальный элемент, составы которого с ними отличаются друг от друга.^[1]

использованная литература

^ ^а ^б Мак-Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов, Universitext, New York: Springer-Verlag, p. 236, г. ISBN 0-387-97710-4, Г-Н 1300636.
^ Грей, Джон В. (1989), «Категория эскизов как модель алгебраической семантики», Категории в информатике и логике (Боулдер, Колорадо, 1987), Contemp. Математика, 92, Амер. Математика. Soc., Providence, RI, стр. 109–135, Дои:10.1090 / conm / 092/1003198, Г-Н 1003198.
^ Нурани, Сайрус Ф. (2014), Функториальная теория модели: новые приложения к алгебраической топологии, описательным множествам и вычислительным категориям topos, Торонто, Онтарио: Apple Academic Press, стр. 38, Дои:10.1201 / b16416, ISBN 978-1-926895-92-5, Г-Н 3203114.

Эта теория категорий -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[mm-1] а ^б Мак-Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов, Universitext, New York: Springer-Verlag, p. 236, г. ISBN 0-387-97710-4, Г-Н 1300636.

[2] Грей, Джон В. (1989), «Категория эскизов как модель алгебраической семантики», Категории в информатике и логике (Боулдер, Колорадо, 1987), Contemp. Математика, 92, Амер. Математика. Soc., Providence, RI, стр. 109–135, Дои:10.1090 / conm / 092/1003198, Г-Н 1003198.

[3] Нурани, Сайрус Ф. (2014), Функториальная теория модели: новые приложения к алгебраической топологии, описательным множествам и вычислительным категориям topos, Торонто, Онтарио: Apple Academic Press, стр. 38, Дои:10.1201 / b16416, ISBN 978-1-926895-92-5, Г-Н 3203114.

[1]

[2]

[3]