Формула Фробениуса - Frobenius formula

В математике, особенно в теория представлений, то Формула Фробениуса, представлен Г. Фробениус, вычисляет символы неприводимых представлений симметричная группа S_п. Среди других приложений формулу можно использовать для получения формула длины крючка.

В (Баран 1991 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFRam1991 (помощь), Арун Рам дает q-аналог формулы Фробениуса.

Заявление

Позволять ${ displaystyle chi _ { lambda}}$ быть персонаж неприводимого представления симметрической группы ${ displaystyle S_ {n}}$ соответствующий разделу ${ displaystyle lambda}$ из п: ${ Displaystyle п = лямбда _ {1} + cdots + лямбда _ {к}}$ и ${ displaystyle ell _ {j} = lambda _ {j} + k-j}$. Для каждого раздела ${ displaystyle mu}$ из п, позволять ${ Displaystyle С ( му)}$ обозначить класс сопряженности в ${ displaystyle S_ {n}}$ соответствующий ему (см. пример ниже), и пусть ${ displaystyle i_ {j}}$ обозначить количество раз j появляется в ${ displaystyle mu}$ (так ${ Displaystyle Sigma , i_ {j} j = n}$). Тогда Формула Фробениуса утверждает, что постоянное значение ${ displaystyle chi _ { lambda}}$ на ${ Displaystyle С ( му),}$

${ Displaystyle чи _ { лямбда} (С ( му)),}$

- коэффициент монома ${ displaystyle x_ {1} ^ { ell _ {1}} dots x_ {k} ^ { ell _ {k}}}$ в однородном полиноме

${ Displaystyle prod _ {я$

куда ${ displaystyle P_ {j} (x_ {1}, dots, x_ {k}) = x_ {1} ^ {j} + dots + x_ {k} ^ {j}}$ это ${ displaystyle j}$-го сумма мощности.

Пример: Брать ${ displaystyle n = 4}$ и ${ displaystyle lambda: 4 = 2 + 2}$. Если ${ Displaystyle mu: 4 = 1 + 1 + 1 + 1}$, что соответствует классу элемента идентичности, то ${ Displaystyle чи _ { лямбда} (С ( му))}$ коэффициент при ${ displaystyle x_ {1} ^ {3} x_ {2} ^ {2}}$ в

${ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) (x_ {1} + x_ {2}) ^ {4}}$

что равно 2. Аналогично, если ${ displaystyle mu: 4 = 3 + 1}$ (класс 3 цикла умножает на 1 цикл), тогда ${ Displaystyle чи _ { лямбда} (С ( му))}$, данный

${ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) (x_ {1} + x_ {2}) (x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}),}$

равно -1.

Смотрите также

• Теория представлений симметрических групп

Рекомендации

• А. Рам, Формула Фробениуса для характеров алгебр Гекке, Математические изобретения, vol 106, no 1, pp 461–488, 1991.
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр.ISBN  0-19-853489-2 МИСТЕР1354144

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.