Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера. - Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric - Wikipedia

В Фридман – Лемэтр – Робертсон – Уокер (FLRW; /ˈжряdмəплəˈмɛтрə .../) метрика является точное решение из Полевые уравнения Эйнштейна из общая теория относительности; он описывает однородный, изотропный, расширение (или иначе, договор) вселенная то есть соединенный путём, но не обязательно односвязный.[1][2][3] Общий вид метрики следует из геометрических свойств однородности и изотропности; Полевые уравнения Эйнштейна нужны только для вывода масштаб Вселенной как функции времени. В зависимости от географических или исторических предпочтений набор из четырех ученых - Александр Фридманн, Жорж Лемэтр, Говард П. Робертсон и Артур Джеффри Уокер - обычно сгруппированы как Фридман или же Фридман – Робертсон – Уокер (FRW) или же Робертсон – Уокер (RW) или же Фридман-Лемэтр (FL). Эту модель иногда называют Стандартная модель современных космология,[4] хотя такое описание также связано с дальнейшим развитием Лямбда-CDM модель. Модель FLRW была разработана названными авторами независимо друг от друга в 1920-х и 1930-х годах.

Общая метрика

Метрика FLRW начинается с предположения о том, что однородность и изотропия пространства. Также предполагается, что пространственный компонент метрики может зависеть от времени. Общая метрика, удовлетворяющая этим условиям:

куда распространяется в трехмерном пространстве равномерной кривизны, то есть эллиптическое пространство, Евклидово пространство, или же гиперболическое пространство. Обычно он записывается как функция трех пространственных координат, но для этого существует несколько соглашений, подробно описанных ниже. не зависит от т - вся временная зависимость находится в функции а(т), известный как "масштаб ".

Полярные координаты приведенной окружности

В полярных координатах с приведенной окружностью пространственная метрика имеет вид

k - константа, представляющая кривизну пространства. Есть два общих обозначения единиц измерения:

  • k можно принять, чтобы иметь единицы длины−2, в таком случае р имеет единицы длины и а(т) безразмерен. k тогда Гауссова кривизна пространства в то время, когда а(т) = 1. р иногда называют сокращенным длина окружности потому что он равен измеренной длине окружности (при этом значении р) с центром в начале координат, деленное на 2π (словно р из Координаты Шварцшильда ). В соответствующих случаях а(т) в нынешнюю космологическую эру часто выбирают равным 1, так что меры сопутствующее расстояние.
  • В качестве альтернативы, k можно считать принадлежащим множеству {−1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). потом р безразмерный и а(т) имеет единицы длины. Когда k = ±1, а(т) это радиус кривизны пространства, а также может быть написано р(т).

Недостатком уменьшенных координат окружности является то, что они покрывают только половину 3-сферы в случае положительной кривизны - окружности за этой точкой начинают уменьшаться, что приводит к вырождению. (Это не проблема, если пространство эллиптический, т.е. 3-сфера с отождествленными противоположными точками.)

Гиперсферические координаты

В гиперсферический или же кривизна нормализованная координирует координату р пропорционально радиальному расстоянию; это дает

куда как раньше и

Как и прежде, существует два общих соглашения о единицах измерения:

  • k можно принять, чтобы иметь единицы длины−2, в таком случае р имеет единицы длины и а(т ) безразмерен. k тогда Гауссова кривизна пространства в то время, когда а(т ) = 1. При необходимости а(т ) в нынешнюю космологическую эру часто выбирают равным 1, так что меры сопутствующее расстояние.
  • В качестве альтернативы, как и раньше, k можно считать принадлежащим множеству {−1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). потом р безразмерный и а(т ) имеет единицы длины. Когда k = ±1, а(т) это радиус кривизны пространства, а также может быть написано р(т ). Обратите внимание, что когда k = +1, р по сути является третьим углом вместе с θ и φ. Письмо χ может использоваться вместор.

Хотя это обычно определяется кусочно, как указано выше, S является аналитическая функция обоих k и р. Его также можно записать как степенной ряд

или как

где sinc ненормализованный функция sinc и является одним из мнимых, нулевых или действительных квадратных корней из k. Эти определения действительны для всех k.

Декартовы координаты

Когда k = 0 можно просто написать

Это можно расширить до k ≠ 0 путем определения

,
, и
,

куда р - одна из радиальных координат, определенных выше, но встречается редко.

Кривизна

Декартовы координаты

В квартире FLRW пространство с использованием декартовых координат, уцелевшие компоненты Тензор Риччи находятся[5]

а скаляр Риччи равен

Сферические координаты

В более общем пространстве FLRW, использующем сферические координаты (названные выше «полярными координатами уменьшенной окружности»), уцелевшие компоненты тензора Риччи[6]

а скаляр Риччи равен


Решения

Полевые уравнения Эйнштейна не используются при выводе общей формы для метрики: это следует из геометрических свойств однородности и изотропности. Однако определение временной эволюции требует уравнения поля Эйнштейна вместе со способом вычисления плотности, например, космологическое уравнение состояния.

Эта метрика имеет аналитическое решение Полевые уравнения Эйнштейна давая Уравнения Фридмана когда тензор энергии-импульса аналогично предполагается изотропным и однородным. В результате получаются следующие уравнения:[7]

Эти уравнения составляют основу стандартных Большой взрыв космологическая модель, включающая текущую ΛCDM модель.[8] Поскольку модель FLRW предполагает однородность, в некоторых популярных источниках ошибочно утверждается, что модель Большого взрыва не может объяснить наблюдаемую кусковость Вселенной. В строго модели FLRW нет скоплений галактик, звезд или людей, поскольку эти объекты намного плотнее, чем типичная часть Вселенной. Тем не менее, модель FLRW используется в качестве первого приближения для эволюции реальной, неоднородной Вселенной, поскольку ее легко вычислить, а модели, которые рассчитывают комковатость во Вселенной, добавляются к моделям FLRW в качестве расширений. Большинство космологов сходятся во мнении, что наблюдаемая вселенная хорошо аппроксимируется почти модель FLRW, т.е. модель, которая следует метрике FLRW, кроме изначальные колебания плотности. По состоянию на 2003 год, теоретические последствия различных расширений модели FLRW, по-видимому, хорошо поняты, и цель состоит в том, чтобы согласовать их с наблюдениями из COBE и WMAP.

Если пространство-время многосвязный, то каждое событие будет представлено более чем одним кортеж координат.[нужна цитата ]

Интерпретация

Приведенная выше пара уравнений эквивалентна следующей паре уравнений

с , индекс пространственной кривизны, служащий постоянная интеграции для первого уравнения.

Первое уравнение можно также получить из термодинамические соображения и эквивалентен первый закон термодинамики, предполагая, что расширение Вселенной адиабатический процесс (что неявно предполагается при выводе метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера).

Второе уравнение утверждает, что как плотность энергии, так и давление вызывают скорость расширения Вселенной. уменьшаться, т.е. оба вызывают замедление расширения Вселенной. Это следствие гравитация, при этом давление играет роль, аналогичную плотности энергии (или массы), в соответствии с принципами общая теория относительности. В космологическая постоянная, с другой стороны, вызывает ускорение расширения Вселенной.

Космологическая постоянная

В космологическая постоянная срок можно опустить, если мы сделаем следующие замены

Следовательно космологическая постоянная можно интерпретировать как возникающую из формы энергии, которая имеет отрицательное давление, равное по величине ее (положительной) плотности энергии:

Такая форма энергии - обобщение понятия космологическая постоянная -известен как темная энергия.

Фактически, чтобы получить член, вызывающий ускорение расширения Вселенной, достаточно иметь скалярное поле что удовлетворяет

Такое поле иногда называют квинтэссенция.

Ньютоновская интерпретация

Это связано с МакКри и Милном,[9] хотя иногда ошибочно приписывают Фридману. Уравнения Фридмана эквивалентны этой паре уравнений:

Первое уравнение говорит, что уменьшение массы, содержащейся в неподвижном кубе (сторона которого на мгновение а) - это количество, которое уходит через стороны из-за расширения Вселенной, плюс массовый эквивалент работы, совершаемой давлением на изгнанный материал. Это сохранение массы-энергии (первый закон термодинамики ) содержится в части вселенной.

Второе уравнение говорит, что кинетическая энергия (если смотреть из исходной точки) частицы единичной массы, движущейся с расширением, плюс ее (отрицательная) гравитационная потенциальная энергия (относительно массы, содержащейся в сфере материи ближе к исходной точке) равна к константе, связанной с кривизной Вселенной. Другими словами, энергия (относительно начала координат) движущейся частицы в свободном падении сохраняется. Общая теория относительности просто добавляет связь между пространственной кривизной Вселенной и энергией такой частицы: положительная полная энергия подразумевает отрицательную кривизну, а отрицательная полная энергия подразумевает положительную кривизну.

В космологическая постоянная Предполагается, что член рассматривается как темная энергия и, таким образом, объединен с членами плотности и давления.

Вовремя Эпоха Планка, нельзя пренебрегать квант последствия. Таким образом, они могут вызвать отклонение от уравнений Фридмана.

Имя и история

Советский математик Александр Фридманн впервые получил основные результаты модели FLRW в 1922 и 1924 гг.[10][11] Хотя престижный физический журнал Zeitschrift für Physik опубликовал его произведение, оставшееся относительно незамеченным современниками. Фридман напрямую общался с Альберт Эйнштейн, который от имени Zeitschrift für Physik, выступил научным рецензентом работы Фридмана. В конце концов Эйнштейн признал правильность расчетов Фридмана, но не смог оценить физическое значение предсказаний Фридмана.

Фридман умер в 1925 году. В 1927 году Жорж Лемэтр, бельгийский священник, астроном и профессор физики Католический университет Левена, независимо пришла к результатам, аналогичным результатам Фридмана, и опубликовала их в Annales de la Société Scientifique de Bruxelles (Летопись Брюссельского научного общества).[12][13] Перед лицом наблюдательных свидетельств расширения Вселенной, полученных Эдвин Хаббл в конце 1920-х годов результаты Лемэтра были отмечены, в частности, Артур Эддингтон, а в 1930–31 годах статья Лемэтра была переведена на английский язык и опубликована в Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества.

Говард П. Робертсон из США и Артур Джеффри Уокер из Великобритании исследовали проблему дальше в 1930-е годы.[14][15][16][17] В 1935 году Робертсон и Уокер строго доказали, что метрика FLRW является единственной метрикой в ​​пространстве-времени, которая пространственно однородна и изотропна (как отмечалось выше, это геометрический результат и не привязан конкретно к уравнениям общей теории относительности, которые всегда предполагались Фридмана и Лемэтра).

Это решение, часто называемое Робертсоном – Уокером. метрика поскольку они доказали его общие свойства, отличается от динамического "Фридмана – Леметра" модели, которые являются конкретными решениями для а(т), которые предполагают, что единственные вклады в стресс-энергию вносят холодное вещество («пыль»), излучение и космологическая постоянная.

Радиус Вселенной Эйнштейна

Радиус Вселенной Эйнштейна это радиус кривизны пространства Вселенная Эйнштейна, давно заброшенный статический модель, которая должна была представить нашу Вселенную в идеализированной форме. Положив

в уравнении Фридмана радиус кривизны пространства этой Вселенной (радиус Эйнштейна) равен[нужна цитата ]

,

куда это скорость света, это Ньютоновская гравитационная постоянная, и это плотность пространства этой вселенной. Числовое значение радиуса Эйнштейна порядка 1010 световых лет.

Свидетельство

Объединив данные наблюдений из некоторых экспериментов, таких как WMAP и Планк с теоретическими результатами Теорема Элерса – Герена – Сакса. и его обобщение,[18] астрофизики теперь согласны с тем, что Вселенная почти однородна и изотропна (при усреднении по очень большому масштабу) и, следовательно, почти пространство-время FLRW.

Рекомендации

  1. ^ Более ранние ссылки см. В Robertson (1935); Робертсон предполагает множественная связность в случае положительной кривизны и говорит, что «мы все еще свободны восстановить» простую связность.
  2. ^ М. Лакиезе-Рей; Ж.-П. Люмине (1995), «Космическая топология», Отчеты по физике, 254 (3): 135–214, arXiv:gr-qc / 9605010, Bibcode:1995ФР ... 254..135Л, Дои:10.1016 / 0370-1573 (94) 00085-Н, S2CID  119500217
  3. ^ Г. Ф. Р. Эллис; Х. ван Эльст (1999). «Космологические модели (лекции Каржеза 1998 г.)». В Marc Lachièze-Rey (ред.). Теоретическая и наблюдательная космология. Научная серия НАТО C. 541. С. 1–116. arXiv:gr-qc / 9812046. Bibcode:1999ASIC..541 .... 1E. ISBN  978-0792359463.
  4. ^ Л. Бергстрем, А. Губар (2006), Космология и астрофизика элементарных частиц (2-е изд.), Спринт, п. 61, ISBN  978-3-540-32924-4
  5. ^ Уолд, Роберт. Общая теория относительности. п. 97.
  6. ^ "Космология" (PDF). п. 23.
  7. ^ П. Охеда и Х. Росу (2006), "Суперсимметрия баротропных космологий FRW", Международный журнал теоретической физики, 45 (6): 1191–1196, arXiv:gr-qc / 0510004, Bibcode:2006IJTP ... 45.1152R, Дои:10.1007 / s10773-006-9123-2, S2CID  119496918
  8. ^ Их решения можно найти в Rosu, Haret C .; Mancas, Stefan C .; Чен, Писин (05.05.2015). «Баротропные космологии FRW с затуханием Кьеллини в сопутствующем времени». Буквы A по современной физике. 30 (20): 1550100. arXiv:1502.07033. Bibcode:2015MPLA ... 3050100R. Дои:10.1142 / S021773231550100x. ISSN  0217-7323. S2CID  51948117.
  9. ^ McCrea, W. H .; Милн, Э. А. (1934). «Ньютоновские вселенные и кривизна пространства». Ежеквартальный журнал математики. 5: 73–80. Bibcode:1934QJMat ... 5 ... 73M. Дои:10.1093 / qmath / os-5.1.73.
  10. ^ Фридман, Александр (1922), "Uber die Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A, 10 (1): 377–386, Bibcode:1922ZPhy ... 10..377F, Дои:10.1007 / BF01332580, S2CID  125190902
  11. ^ Фридман, Александр (1924), «Убер ди Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes», Zeitschrift für Physik A, 21 (1): 326–332, Bibcode:1924ZPhy ... 21..326F, Дои:10.1007 / BF01328280, S2CID  120551579 Английский пер. в «Общая теория относительности и гравитации» 1999, том 31, 31–
  12. ^ Лемэтр, Жорж (1931), «Расширение Вселенной, Однородная Вселенная постоянной массы и увеличивающегося радиуса с учетом радиальной скорости внегалактической туманности», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, 91 (5): 483–490, Bibcode:1931МНРАС..91..483Л, Дои:10.1093 / mnras / 91.5.483 переведено с Лемэтр, Жорж (1927), "Un Universe homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, A47: 49–56, Bibcode:1927АССБ ... 47 ... 49Л
  13. ^ Лемэтр, Жорж (1933), "Универсальное расширение", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, A53: 51–85, Bibcode:1933АССБ ... 53 ... 51Л
  14. ^ Робертсон, Х. П. (1935), «Кинематика и устройство мира», Астрофизический журнал, 82: 284–301, Bibcode:1935ApJ .... 82..284R, Дои:10.1086/143681
  15. ^ Робертсон, Х. П. (1936), «Кинематика и устройство мира II», Астрофизический журнал, 83: 187–201, Bibcode:1936ApJ .... 83..187R, Дои:10.1086/143716
  16. ^ Робертсон, Х. П. (1936), «Кинематика и строение мира III», Астрофизический журнал, 83: 257–271, Bibcode:1936ApJ .... 83..257R, Дои:10.1086/143726
  17. ^ Уокер, А.Г. (1937), "О теории мироустройства Милна", Труды Лондонского математического общества, Серия 2, 42 (1): 90–127, Bibcode:1937PLMS ... 42 ... 90 Вт, Дои:10.1112 / плмс / с2-42.1.90
  18. ^ См. Стр. 351 и далее. в Хокинг, Стивен У .; Эллис, Джордж Ф. Р. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-09906-6. Оригинальная работа - Элерс Дж., Герен П., Сакс Р.К .: Изотропные решения уравнений Эйнштейна-Лиувилля. J. Math. Phys. 9, 1344 (1968). Для обобщения см. Stoeger, W. R .; Maartens, R; Эллис, Джордж (2007), "Доказательство почти однородности Вселенной: почти теорема Элерса-Герен-Сакса", Astrophys. Дж., 39: 1–5, Bibcode:1995ApJ ... 443 .... 1S, Дои:10.1086/175496.

дальнейшее чтение

  • Норт Дж. Д: (1965)Мера Вселенной - история современной космологии, Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990, ISBN  0-486-66517-8
  • Харрисон, Э. Р. (1967), "Классификация однородных космологических моделей", Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, 137: 69–79, Bibcode:1967МНРАС.137 ... 69Н, Дои:10.1093 / mnras / 137.1.69
  • д'Инверно, Рэй (1992), Введение в теорию относительности Эйнштейна, Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-859686-8. (См. Главу 23 для особенно ясного и краткого введения в модели FLRW.)