Четыре четверки - Four fours

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Четыре четверки"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июль 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Четыре четверки это математическая головоломка. Цель четырех четверок - найти самую простую математическое выражение для каждого целое число от 0 до некоторого максимума, используя только общие математические символы и цифру четыре (другие цифры не допускаются). Большинство версий четырех четверок требуют, чтобы каждое выражение имело ровно четыре четверки, но некоторые варианты требуют, чтобы каждое выражение имело минимальное количество четверок. Эта игра требует навыков.

Первое печатное упоминание конкретной проблемы четырех четверок находится в Знание: иллюстрированный научный журнал в 1881 г.^[1]

У. В. Роуз Болл описал это в 6-м издании (1914 г.) своего Математические развлечения и эссе. В этой книге он описан как «традиционный отдых».^[2]

Правила

Есть много вариаций четырех четверок; их основное различие в том, какие математические символы разрешены. По сути, все варианты как минимум позволяют добавление ("+"), вычитание ("−"), умножение ("×"), разделение ("÷") и скобки, а также объединение (например, «44» разрешено). Большинство также позволяют факториал ("!"), возведение в степень (например, "44⁴"), десятичная точка (". ") и квадратный корень («√») операция. Другие операции, разрешенные некоторыми вариациями, включают взаимная функция ("1 / x"), субфакторный ("!" перед числом:! 4 равно 9), черта (бесконечно повторяющаяся цифра), произвольный корень, квадратная функция ("sqr"), функция куба («куб»), кубический корень, то гамма-функция (Γ (), где Γ (Икс) = (Икс - 1)!) И проценты ("%"). Таким образом

${ displaystyle 4 \% = 0,04}$

${ displaystyle sqr (4) = 16}$

${ displaystyle cube (4) = 64}$

${ displaystyle { sqrt {4}} = 2}$

${ displaystyle 4! = 24}$

${ Displaystyle Gamma (4) = 6}$

${ displaystyle! 4 = 9}$

${ displaystyle 4 '= 1/4 = 0,25}$

${ displaystyle .4 = 0,4}$

${ displaystyle. { overline {4}} =. 4444 ... = 4/9}$

и Т. Д.

Обычно в этой задаче над чертой используется это значение:

${ displaystyle. { overline {4}} =. 4444 ... = 4/9}$

Обычно "бревно "операторы или функция преемника не разрешены, поскольку с их помощью можно легко создать любое число. Это работает, замечая 3 вещи:

1) вы можете многократно извлекать квадратные корни без использования дополнительных четверок

2) квадратный корень можно также записать как показатель степени (^ (1/2))

3) экспоненты имеют обратные логарифмы.

${ displaystyle underbrace { sqrt { sqrt { cdots { sqrt {4}}}}} _ {n} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}$

Записывая в этой форме повторяющийся квадратный корень, мы можем выделить n, то есть количество квадратных корней !:

${ Displaystyle 4 ^ {(1/2) ^ {п}}}$

мы можем изолировать оба показателя с помощью лог-базы 4

${ displaystyle log _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}$

мы можем рассматривать эту логарифмическую базу 4 как вопрос: «4 в какой степени дает мне 4 в половинной степени в n?»

${ displaystyle 4 ^ {x} = 4 ^ {(1/2) ^ {n}}}$

так что теперь у нас осталось:

${ Displaystyle (1/2) ^ {п}}$

и теперь мы можем сделать то же самое, чтобы изолировать показатель степени n:

${ Displaystyle п = журнал _ {(1/2)} (1/2) ^ {п}}$

Итак, собираем все вместе:

${ Displaystyle п = журнал _ {(1/2)} журнал _ {4} 4 ^ {(1/2) ^ {п}}}$

Теперь мы можем переписать основание (1/2), используя только 4, и показатель степени (1/2) обратно в квадратный корень:

${ displaystyle n = log _ {{ sqrt {4}} / 4} log _ {4} underbrace { sqrt { sqrt { cdots { sqrt {4}}}}} _ {n} }$

Мы использовали четыре четверки, и теперь количество квадратных корней, которые мы добавляем, равно любому числу, которое мы хотим получить!

Пол Бурк приписывает Бену Рудьяку-Гулду другое описание того, как четыре четверки могут быть решены с использованием натуральных логарифмов (ln (n)) для представления любого положительного целого числа. п в качестве:

${ displaystyle n = - { sqrt {4}} { frac { ln left [ left ( ln underbrace { sqrt { sqrt { cdots { sqrt {4}}}}}} _ { n} right) / ln 4 right]} { ln {4}}}}$

Дополнительные варианты (обычно больше не называемые «четыре четверки») заменяют набор цифр («4, 4, 4, 4») другим набором цифр, например, года рождения кого-то. Например, вариант, использующий «1975», потребовал бы, чтобы каждое выражение использовало одну 1, одну 9, одну 7 и одну 5.

Решения

Вот набор из четырех четверок для чисел от 0 до 32 с использованием типичных правил. Здесь перечислены некоторые альтернативные решения, хотя на самом деле правильных решений гораздо больше. Синим цветом выделены записи, в которых используются четыре целых числа 4 (а не четыре цифры 4) и основные арифметические операции. Числа без синих записей не имеют решения при этих ограничениях. Кроме того, курсивом выделены решения, в которых повторяются операторы.

 0  =  4 ÷ 4 × 4 − 4  =   44 − 44 1  =  4 ÷ 4 + 4 − 4  =   44 ÷ 44 2  =  4 −(4 + 4)÷ 4  =  (44 + 4) ÷ 4! 3  = (4 × 4 − 4)÷ 4  =  (4 + 4 + 4) ÷ 4 4  =  4 + 4 ×(4 − 4) =  −44 + 4! + 4! 5  = (4 × 4 + 4)÷ 4  =  (44 − 4!) ÷ 4 6  = (4 + 4)÷ 4 + 4  =   4.4 + 4  ×.4 7  =  4 + 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4  − 4 8  =  4 ÷ 4 × 4 + 4  =   4.4 − .4  + 4 9  =  4 ÷ 4 + 4 + 4  =   44 ÷ 4  − √410  =  4 ÷√4 + 4 ×√4  =  (44 − 4) ÷ 411  = (4!×√4 − 4)÷ 4  =  √4 × (4! − √4) ÷ 412  =  4 ×(4 − 4 ÷ 4) =  (44 + 4) ÷ 413  = (4!×√4 + 4)÷ 4  =  (4 − .4) ÷ .4 + 414  =  4 × 4 − 4 ÷√4  =   4 × (√4 + √4) − √415  =  4 × 4 − 4 ÷ 4  =   44 ÷ 4  + 416  =  4 × 4 + 4 − 4  =  (44 − 4) ×.417  =  4 × 4 + 4 ÷ 4  =  (44 + 4!)÷ 418  =  4 × 4 + 4 −√4  =  (44 ÷ √4) − 419  =  4!−(4 + 4 ÷ 4) =  (4 + 4 − .4) ÷ .4 20  =  4 ×(4 ÷ 4 + 4) =  (44 − 4) ÷ √421  =  4!− 4 + 4 ÷ 4  =  (44 − √4) ÷ √422  =  4!÷ 4 + 4 × 4  =   44 ÷ (4 − √4)23  =  4!+ 4 ÷ 4 −√4  =  (44 + √4) ÷ √424  =  4 × 4 + 4 + 4  =  (44 + 4) ÷ √425  =  4!− 4 ÷ 4 +√4  =  (4 + 4 + √4) ÷ .426  =  4!+ √4 + 4 - 427  =  4!+ √4 + (4 ÷ 4)28  =  (4 + 4)×4 − 4 =  4!+ 4 + 4 - 429  =  4!+ 4 + (4 ÷ 4)30  =  4!+ 4 + 4 - √431  =  4!+ (4!+4)÷4.32  =  4 х 4 + 4 х 4

Есть также много других способов найти ответ на все эти вопросы.

Обратите внимание, что числа со значениями меньше единицы обычно не пишутся с нуля в начале. Например, «0,4» обычно записывается как «.4». Это потому, что «0» - это цифра, и в этой головоломке может использоваться только цифра «4».

У данного числа обычно есть несколько возможных решений; приемлемо любое решение, соответствующее правилам. Некоторые варианты предпочитают «наименьшее» количество операций или предпочитают одни операции другим. Другие просто предпочитают «интересные» решения, то есть неожиданный способ достижения цели.

Определенные числа, такие как 113, особенно сложно решить по обычным правилам. Для 113 Уиллер предлагает ${ displaystyle Gamma ( Gamma (4)) - { frac {4! +4} {4}}}$.^[3] Нестандартное решение - ${ Displaystyle 4 (4! + 4 + 4 ')}$, где 4 '- мультипликативный обратный из 4. (т.е. ${ displaystyle { frac {1} {4}}}$) Другое возможное решение ${ displaystyle { frac {((4!)! _ {10})! _ {127}} {(4!)! _ {10}}}}$, куда ${ displaystyle! _ {10}}$ и ${ displaystyle! _ {127}}$ представляют 10-й и 127-й многофакторность соответственно, и технически должен быть обозначен таким количеством восклицательных знаков, чтобы придерживаться правил задачи.

Использование процентов ("%") допускает решения для гораздо большей части чисел; например, 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.

Номер 157 можно решить с помощью гамма-функция, одно из возможных решений: (Γ (4)! + 4 ÷ 4) - 4!

Алгоритмика задачи

Эта проблема и ее обобщения (например, проблемы пяти пятерок и шести шестерок, обе показаны ниже) могут быть решены с помощью простого алгоритма. Основные ингредиенты: хеш-таблицы которые отображают рациональные числа в строки. В этих таблицах ключи - это числа, представленные некоторой допустимой комбинацией операторов и выбранной цифрой. d, например четыре, а значения представляют собой строки, содержащие фактическую формулу. Для каждого номера своя таблица п случаев появления d. Например, когда d = 4, хеш-таблица для двух вхождений d будет содержать пару "ключ-значение" 8 и 4+4, и один для трех вхождений, пара "ключ-значение" 2 и (4+4)/4 (строки выделены жирным шрифтом).

Затем задача сводится к рекурсивному вычислению этих хеш-таблиц для увеличения п, начиная с п = 1 и продолжая, например, до п = 4. Таблицы для п = 1 и п = 2 являются особенными, потому что они содержат примитивные записи, которые не являются комбинацией других, более мелких формул, и, следовательно, они должны быть правильно инициализированы, например (для п = 1)

       Т [4]: ​​= «4»; Т [4/10]: = ".4"; Т [4/9]: = ".4 ...";

и

        Т [44]: = "44" ;.

(за п = 2). Теперь есть два способа появления новых записей: либо как комбинация существующих с помощью бинарного оператора, либо с применением операторов факториала или квадратного корня (которые не используют дополнительные экземпляры d). Первый случай обрабатывается путем итерации по всем парам подвыражений, которые в сумме используют п экземпляры d. Например, когда п = 4, мы бы проверили пары (а, б) с а содержащий один экземпляр d и б три, и с а содержащий два экземпляра d и б два тоже. Затем мы войдем а + б, а-б, б-а, а * б, а / б, б / а) в хеш-таблицу, включая скобки, для п = 4. Здесь наборы А и B которые содержат а и б вычисляются рекурсивно, с п = 1 и п = 2 является базовым случаем. Мемоизация используется, чтобы гарантировать, что каждая хэш-таблица вычисляется только один раз.

Второй случай (факториалы и корни) обрабатывается с помощью вспомогательной функции, которая вызывается каждый раз, когда значение v записывается. Эта функция вычисляет вложенные факториалы и корни v до некоторой максимальной глубины, ограниченной рациональными числами.

Последняя фаза алгоритма состоит в переборе ключей таблицы для желаемого значения п и извлечение и сортировка тех ключей, которые являются целыми числами. Этот алгоритм был использован для вычисления пяти пятерок и шести шестерок, показанных ниже. Более компактная формула (в смысле количества символов в соответствующем значении) выбиралась каждый раз, когда ключ появлялся более одного раза.

Отрывок из решения проблемы пяти пятерок

139 = (((5+(5/5))!/5)-5)140 = (.5*(5+(5*55)))141 = ((5)!+((5+(5+.5))/.5))142 = ((5)!+((55/.5)/5))143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5)144 = ((((55/5)-5))!/5)145 = ((5*(5+(5*5)))-5)146 = ((5)!+((5/5)+(5*5)))147 = ((5)!+((.5*55)-.5))148 = ((5)!+(.5+(.5*55)))149 = (5+(((5+(5/5)))!+5))

Отрывок из решения задачи шести шестерок

В таблице ниже обозначение .6 ... представляет собой значение 6/9 или 2/3 (повторяющаяся десятичная дробь 6).

241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6)242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6))243 = (6+((6*(.6*66))-.6))244 = (.6...*(6+(6*(66-6))))245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6)246 = (66+(6*((6*6)-6)))247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6))248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6)))))249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6))))250 = (((6*(6*6))-66)/.6)251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))

Смотрите также

• Крипто (игра)

Рекомендации

внешняя ссылка

• Бурк, Поль. "Проблема четырех четверок".
• Карвер, Рут. «Пазл четыре четверки». на MathForum.org
• «4444 (Четыре четверки)». Галерея Eyegate.
• four4s на GitHub
• «Онлайн-реализация игры« Четыре четверки »».