Преобразование Фолди – Ваутуйзена - Foldy–Wouthuysen transformation

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Февраль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Преобразование Фолди – Ваутуйзена был исторически значимым и был сформулирован Лесли Лоуренс Фолди и Зигфрид Адольф Ваутуйзен в 1949 году, чтобы понять нерелятивистский предел Уравнение Дирака, уравнение для вращение-1/2 частицы.^[1][2][3][4] Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди – Ваутхуйзена в интерпретации релятивистских волновых уравнений с помощью частиц содержится в Acharya and Sudarshan (1960).^[5] Его полезность в физика высоких энергий теперь ограничено из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.

Каноническое преобразование

Преобразование FW - это унитарное преобразование ортонормированный основа, в которой оба Гамильтониан и государство представлены. В собственные значения не изменяются при таком унитарном преобразовании, то есть физика не изменяется при таком унитарном базисном преобразовании. Следовательно, такое унитарное преобразование всегда можно применить: в частности, можно выбрать унитарное базисное преобразование, которое придаст гамильтониану более приятную форму за счет изменения функции состояния, которая затем представляет что-то еще. См., Например, Преобразование Боголюбова, который является ортогональным базисным преобразованием для той же цели. Предположение, что преобразование FW применимо к состоянию или же гамильтониан, таким образом, неверен.

Фолди и Ваутуйзен использовали каноническое преобразование который теперь стал известен как Преобразование Фолди – Ваутуйзена. Краткое изложение истории трансформации можно найти в некрологах Фолди и Ваутуйсена.^[6][7] и биографические воспоминания Фолди.^[8] До их работы были некоторые трудности с пониманием и сбором всех членов взаимодействия определенного порядка, например, для частицы Дирака, погруженной во внешнее поле. С их процедурой физическая интерпретация терминов была ясной, и стало возможным применять их работу систематическим образом к ряду проблем, которые ранее не решались.^[9][10] Преобразование Фолди – Ваутхойзена было распространено на физически важные случаи спин-0 и спин-1 частицы^[11] и даже обобщены на случай произвольных спины.^[12]

Описание

Преобразование Фолди – Ваутхайзена (ФВ) - это унитарное преобразование на фермион волновая функция формы:

${displaystyle psi o psi '= Upsi}$

(1)

где унитарный оператор - это матрица 4 × 4:

${displaystyle U = e ^ {eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} heta} = mathbb {I} _ {4} cos heta + eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} sin heta = e ^ {{oldsymbol {gamma}} cdot {hat {p}} heta} = mathbb {I} _ {4} cos heta + {oldsymbol {gamma}} cdot {hat {p}} sin heta}$

(2)

Над,

${displaystyle {hat {p}} ^ {i} Equiv {frac {p ^ {i}} {| p |}}}$

- единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермиона. Вышеуказанное относится к Матрицы Дирака к β = γ⁰ и α^я = γ⁰γ^я, с я = 1, 2, 3. Прямое разложение в ряд с применением коммутативность свойств матриц Дирака показывает, что 2 выше верно. Обратное

${displaystyle U ^ {- 1} = e ^ {- eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} heta} = cos heta - eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} sin heta}$

так что ясно, что U⁻¹U = я, куда я представляет собой 4 × 4 единичная матрица.

Преобразование Фолди – Ваутхойзена гамильтониана Дирака для свободного фермиона

Это преобразование представляет особый интерес при применении к свободному фермионному гамильтонову оператору Дирака

${displaystyle {hat {H}} _ {0} Equiv alpha cdot p + eta m}$

биунитарным образом, в форме:

${displaystyle {egin {align} {hat {H}} _ {0} o {hat {H}} '_ {0} и эквивалент U {hat {H}} _ {0} U ^ {- 1} & = U (альфа cdot p + eta m) U ^ {- 1} & = (cos heta + eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} sin heta) (alpha cdot p + eta m) (cos heta - eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} sin heta) конец {выровнено}}}$

(3)

Используя свойства коммутативности матриц Дирака, это можно преобразовать в выражение для двойных углов:

${displaystyle {egin {align} {hat {H}} '_ {0} & = (alpha cdot p + eta m) (cos heta - eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} sin heta) ^ { 2} & = (alpha cdot p + eta m) e ^ {- 2 eta {oldsymbol {alpha}} cdot {hat {p}} heta} & = (alpha cdot p + eta m) (cos 2 heta - eta { oldsymbol {альфа}} cdot {шляпа {p}} sin 2 heta) конец {выровнено}}}$

(4)

Это влияет на:

${displaystyle {hat {H}} '_ {0} = alpha cdot pleft (cos 2 heta - {frac {m} {| p |}} sin 2 heta ight) + eta (mcos 2 heta + | p | sin 2 heta)}$

(5)

Выбор конкретного представления: Ньютон – Вигнер

Ясно, что преобразование ФВ - это непрерывный преобразование, то есть можно использовать любое значение для θ который выбирает. Теперь встает отдельный вопрос о выборе конкретного значения для θ, что сводится к выбору конкретного преобразованного представления.

Одно особенно важное представление - это представление, в котором преобразованный гамильтонов оператор ЧАС′₀ диагонализован. Ясно, что полностью диагонализованное представление можно получить, выбрав θ так что α · п срок в 5 заставлено исчезнуть. Такое представление задается путем определения:

${displaystyle an 2 heta Equiv {frac {| p |} {m}}}$

(6)

так что 5 сводится к диагонализованной (это предполагает, что β взят в представлении Дирака – Паули (после Поль Дирак и Вольфганг Паули ), в котором это диагональная матрица):

${displaystyle {hat {H}} '_ {0} = eta (mcos 2 heta + | p | sin 2 heta)}$

(7)

С помощью элементарной тригонометрии 6 также подразумевает, что:

${displaystyle sin 2 heta = {frac {| p |} {sqrt {m ^ {2} + | p | ^ {2}}}} quad {ext {and}} quad cos 2 heta = {frac {m} { sqrt {м ^ {2} + | p | ^ {2}}}}}$

(8)

так что используя 8 в 7 теперь приводит к следующему сокращению до:

${displaystyle {hat {H}} '_ {0} = eta {sqrt {m ^ {2} + | p | ^ {2}}}}$

(9)

До того, как Foldy и Wouthuysen опубликовали свою трансформацию, было уже известно, что 9 гамильтониан в представлении Ньютона – Вигнера (НВ) (назван в честь Теодор Дадделл Ньютон и Юджин Вигнер ) из Уравнение Дирака. Что 9 таким образом, говорит нам, что путем применения преобразования FW к представлению Дирака – Паули уравнения Дирака и последующего выбора параметра непрерывного преобразования θ чтобы диагонализировать гамильтониан, мы приходим к NW-представлению уравнения Дирака, потому что сам NW уже содержит гамильтониан, указанный в (9). Видеть это связь.

Если принять во внимание массу на оболочке - фермион или что-то еще - заданную формулой м² = п^σп_σ, и использует Метрика Минковского тензор, для которого диаг (η) = (+1, −1, −1, −1), должно быть очевидно, что выражение

${displaystyle p ^ {0} = {sqrt {m ^ {2} + | p | ^ {2}}}}$

эквивалентен E ≡ п⁰ компонента вектора энергии-импульса п^μ, так что 9 альтернативно определяется довольно просто ЧАС′₀ = βE.

Соответствие представлений Дирака – Паули и Ньютона – Вигнера для покоящегося фермиона

Теперь рассмотрим покоящийся фермион, который мы можем определить в этом контексте как фермион, для которого |п| = 0. Из 6 или же 8, это означает, что cos 2θ = 1, так что θ = 0, ± π, ± 2π и из 2, что унитарный оператор U = ±я. Следовательно, любой оператор О в представлении Дирака-Паули, над которым мы выполняем биунитарное преобразование, будет дан для покоящегося фермиона следующим образом:

${displaystyle O o O'equiv UOU ^ {- 1} = (pm I) (O) (pm I) = O}$

(10)

В отличие от исходного гамильтонова оператора Дирака – Паули

${displaystyle {hat {H}} _ {0} Equiv alpha cdot p + eta m}$

с гамильтонианом NW 9, мы действительно находим |п| = 0 "в покое" переписка:

${displaystyle {hat {H}} _ {0} = {hat {H}} '_ {0} = eta m}$

(11)

Оператор скорости в представлении Дирака – Паули

Теперь рассмотрим оператор скорости. Чтобы получить этот оператор, мы должны коммутировать гамильтонов оператор ЧАС′₀ с операторами канонического положения Икс_я, т.е. мы должны вычислить

${displaystyle {hat {v_ {i}}} эквивалентный [{hat {H}} _ {0}, x_ {i} ight]}$

Один хороший способ приблизиться к этому вычислению - начать с написания скалярной масса покоя м в качестве

${displaystyle m = gamma ^ {0} {hat {H}} _ {0} + gamma ^ {j} p_ {j}}$

а затем потребовать, чтобы скалярная масса покоя коммутировала с Икс_я. Таким образом, мы можем написать:

${displaystyle 0 = [m, x_ {i}] = left [left (гамма ^ {0} {hat {H}} _ {0} + gamma ^ {j} p_ {j} ight), x_ {i} ight ] = left [гамма ^ {0} {hat {H}} _ {0}, x_ {i} ight] + igamma _ {i}}$

(12)

где мы использовали каноническое коммутационное соотношение Гейзенберга [Икс_я,п_j] = −iη_ij сократить сроки. Затем, умножая слева на γ⁰ и переставляя сроки, получаем:

${displaystyle {frac {d {hat {x}} _ {i}} {dt}} = {hat {v_ {i}}} эквивалентно [{hat {H}} _ {0}, x_ {i} ight ] = альфа _ {i}}$

(13)

Потому что канонические отношения

${displaystyle ileft [{hat {H}} _ {0}, {hat {v}} _ {i} ight] eq 0}$

Вышеупомянутое обеспечивает основу для вычисления неотъемлемого ненулевого оператора ускорения, который определяет колебательное движение, известное как zitterbewegung.

Оператор скорости в представлении Ньютона – Вигнера

В представлении Ньютона – Вигнера мы теперь хотим вычислить

${displaystyle {hat {v}} _ {i} 'эквивалентно [{hat {H}}' _ {0}, x_ {i} ight]}$

Если мы воспользуемся результатом в самом конце раздела 2 выше, ЧАС′₀ = βp₀, тогда это можно записать как:

${displaystyle {hat {v}} _ {i} 'эквивалентно [{hat {H}}' _ {0}, x_ {i} ight] = i eta left [p_ {0}, x_ {i} ight] }$

(14)

Используя вышеизложенное, нам нужно просто вычислить [п₀,Икс_я], затем умножить на iβ.

Каноническое вычисление происходит аналогично вычислению в разделе 4 выше, но из-за выражения квадратного корня в п⁰ = √м² + |п|², требуется один дополнительный шаг.

Во-первых, чтобы учесть квадратный корень, нам потребуется, чтобы скалярная квадратная масса м² коммутировать с каноническими координатами Икс_я, который мы пишем как:

${displaystyle 0equiv left [m ^ {2}, x_ {i} ight] = left [left (p ^ {0} p_ {0} + p ^ {j} p_ {j} ight), x_ {i} ight] = left [p ^ {0} p_ {0}, x_ {i} ight] + 2ip_ {i}}$

(15)

где мы снова используем каноническое соотношение Гейзенберга [Икс_я,п_j] = −iη_ij. Тогда нам понадобится выражение для [п₀,Икс_я] который удовлетворит 15. Несложно проверить, что:

${displaystyle ileft [p_ {0}, x_ {i} ight] = {frac {p_ {i}} {p ^ {0}}} = v_ {i}}$

(16)

удовлетворит 15 когда снова нанимаю [Икс_я,п_j] = −я_ij. Теперь мы просто возвращаем iβ фактор через 14, чтобы достичь:

${displaystyle {frac {d {hat {x}} _ {i} '} {dt}} = {hat {v}} _ {i}' equive ileft [{hat {H}} '_ {0}, x_ {i} ight] = eta {frac {p_ {i}} {p ^ {0}}} = eta v_ {i}}$

(17)

Под этим понимается оператор скорости в представлении Ньютона – Вигнера. Потому что:

${displaystyle ileft [{hat {H}} '_ {0}, {hat {v}} _ {i}' ight] = ileft [eta p_ {0}, eta v_ {i} ight] = 0}$

(18)

принято считать, что zitterbewegung движение, возникающее из 12 обращается в нуль при преобразовании фермиона в представление Ньютона – Вигнера.

Операторы скорости покоящегося фермиона

Теперь сравним уравнения 13 и 17 для покоящегося фермиона, определенного ранее в разделе 3 как фермион, для которого |п| = 0. Здесь, (13) останки:

${displaystyle {hat {v}} _ {i} эквивалентно [{hat {H}} _ {0}, x_ {i} ight] = alpha _ {i}}$

(19)

пока 17 становится:

${displaystyle {hat {v}} _ {i} 'эквивалентно [{hat {H}}' _ {0}, x_ {i} ight] = eta {frac {p_ {i}} {p ^ {0}) }} = 0}$

(20)

В уравнении 10 мы обнаружили, что для покоящегося фермиона О′ = О для любого оператора. Можно было бы ожидать, что это будет включать:

${displaystyle {hat {v}} _ {i} '= {hat {v}} _ {i}}$

(21)

однако уравнения 19 и 20 для |п| = 0 Фермион противоречит 21.

Другие приложения

Эта секция может содержать чрезмерное количество цитирований. Пожалуйста примите к сведению удаление ссылок на ненужные или сомнительные источники, объединение цитат где возможно, или, если необходимо, пометить контент для удаления. (Февраль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Мощный механизм преобразования Фолди – Ваутуйзена, первоначально разработанный для Уравнение Дирака нашел применение во многих ситуациях, таких как акустика, и оптика.

Он нашел применение в самых разных областях, таких как атомные системы.^[13][14] синхротрон радиация^[15] и вывод Уравнение Блоха за поляризованный балки.^[16]

Применение преобразования Фолди – Ваутхайзена в акустике очень естественно; исчерпывающие и математически строгие отчеты.^[17][18][19]

В традиционной схеме целью расширения оптического гамильтониана

${displaystyle {hat {H}} = - left (n ^ {2} (r) - {hat {p}} _ {perp} ^ {2} ight) ^ {frac {1} {2}}}$

в серии с использованием

${displaystyle {frac {{hat {p}} _ {perp} ^ {2}} {n_ {0} ^ {2}}}}$

Под параметром расширения понимается распространение квазипараксиального пучка в терминах ряда приближений (параксиальных плюс непараксиальных). Аналогичная ситуация и в случае оптики заряженных частиц. Напомним, что и в релятивистской квантовой механике существует аналогичная проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистские поправочные члены в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (которое имеет первый порядок по времени) это наиболее удобно сделать с помощью преобразования Фолди – Ваутхойзена, ведущего к итерационной технике диагонализации. Основная структура недавно разработанных формализмов оптики (как оптика света, так и оптика заряженных частиц) основана на технике преобразования теории Фолди – Ваутхойзена, которая приводит уравнение Дирака в форму, отображающую различные члены взаимодействия между частицей Дирака и приложенное электромагнитное поле в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.

В теории Фолди – Ваутхойзена уравнение Дирака разделяется посредством канонического преобразования на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Уравнение Паули^[20] в нерелятивистском пределе, а другой описывает состояния с отрицательной энергией. Можно написать дираковское матричное представление уравнений Максвелла. В такой матричной форме может применяться метод Фолди – Ваутхуйзена.^{[21][22][23][24][25]}

Существует близкая алгебраическая аналогия между Уравнение Гельмгольца (управляющий скалярной оптикой) и Уравнение Клейна – Гордона; и между матричная форма уравнений Максвелла (управляющая векторная оптика) и Уравнение Дирака. Поэтому для анализа этих систем естественно использовать мощные механизмы стандартной квантовой механики (в частности, преобразование Фолди – Ваутхойзена).

Предложение использовать технику преобразования Фолди – Ваутхойзена в случае уравнения Гельмгольца упоминалось в литературе как замечание.^[26]

Только в недавних работах эта идея была использована для анализа квазипараксиальных приближений для конкретной пучковой оптической системы.^[27] Техника Foldy – Wouthuysen идеально подходит для Алгебраический подход к оптике. Со всеми этими плюсами, мощным и свободным от двусмысленности расширением, преобразование Фолди – Ваутхуйзена все еще мало используется в оптике. Техника преобразования Фолди – Ваутхойзена приводит к так называемым нетрадиционным предписаниям оптики Гельмгольца.^[28] и оптика Максвелла^[29] соответственно. Нетрадиционные подходы приводят к очень интересным зависимым от длины волны модификациям параксиального и аберрационного поведения. Нетрадиционный формализм оптики Максвелла обеспечивает единую основу для оптики светового пучка и поляризации. Нетрадиционные предписания световой оптики во многом аналогичны квантовой теории оптики пучков заряженных частиц.^{[30][31][32][33]} В оптике это позволило увидеть более глубокие связи в режиме зависимости от длины волны между световой оптикой и оптикой заряженных частиц (см. Электронная оптика ).^[34][35]

Смотрите также

• Релятивистская квантовая механика

Примечания

Эта статья не хватает ISBN для книг, перечисленных в нем. Пожалуйста облегчить проведение исследований путем перечисления ISBN. Если {{Цитировать книгу}} или же {{цитата}} шаблоны используются, вы можете добавлять ISBN автоматически, или обсудите этот вопрос на страница обсуждения. (Февраль 2017 г.)