Задача представления на конечной решетке - Finite lattice representation problem

В математика, то задача представления на конечной решетке, или же конечная задача решетки конгруэнций, спрашивает, все ли конечные решетка является изоморфный к решетка конгруэнций некоторых конечных алгебра.

Фон

А решетка называется алгебраический если это полный и компактно генерируемый. В 1963 году Гретцер и Шмидт доказали, что любая алгебраическая решетка изоморфна решетка конгруэнций некоторых алгебра.[1] Таким образом, по существу нет ограничений на форму решетки конгруэнций алгебры. Проблема представления конечной решетки спрашивает, верно ли то же самое для конечных решеток и конечных алгебр. То есть, каждая ли конечная решетка является решеткой конгруэнций конечный алгебра?

В 1980 году Палфи и Пудлак доказали, что эта проблема эквивалентна проблеме определения, встречается ли всякая конечная решетка как интервал в решетка подгрупп конечного группа.[2] Для обзора теоретико-группового подхода к проблеме см. Pálfy (1993).[3] и Палфи (2001).[4]

Эту проблему не следует путать с задача решетки конгруэнций.

Значимость

Это одна из старейших нерешенных проблем в универсальная алгебра.[5][6][7] Пока на него не будет дан ответ, теория конечных алгебр неполна, поскольку для конечной алгебры неизвестно, существуют ли априори, любые ограничения на форму решетки конгруэнций.

Рекомендации

  1. ^ Г. Гретцер и Э. Т. Шмидт, Характеризации решеток конгруэнций абстрактных алгебр, Acta Sci. Математика. (Сегед) 24 (1963), 34–59.
  2. ^ Палфи и Пудлак. Решетки конгруэнции конечных алгебр и интервалы в решетках подгрупп конечных групп. Алгебра Универсальная 11 (1), 22–27 (1980). DOI
  3. ^ Петер Пал Пальфи. Интервалы в решетках подгрупп конечных групп. В группах '93 Голуэй / Ст. Эндрюс, т. 2, том 212 Лондонской математики. Soc. Lecture Note Ser., Страницы 482–494. Cambridge Univ. Press, Кембридж, 1995.
  4. ^ Петер Пал Палфи. Группы и решетки. В группах Сент-Эндрюс 2001 г. в Оксфорде. Vol. II, том 305 Лондонской математики. Soc. Lecture Note Ser., Страницы 428–454, Cambridge, 2003. Cambridge Univ. Нажмите.
  5. ^ Джоэл Берман. Решетки конгруэнций конечных универсальных алгебр. Докторская диссертация, Вашингтонский университет, 1970 год.
  6. ^ Бьярни Йонссон. Темы универсальной алгебры. Конспект лекций по математике, Vol. 250. Springer Verlag, Берлин, 1972.
  7. ^ Ральф Маккензи. Конечные запрещенные решетки. В: Универсальная алгебра и теория решеток (Puebla, 1982), Lecture Notes in Math., Т. 1004. С. 176–205. Спрингер, Берлин (1983). DOI

внешняя ссылка